বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers) – Class 10 দশম শ্ৰেণীৰ

অধ্যায় ১: বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers)

১. অনুশীলনীৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ (Full Exercise Solutions)

অনুশীলনী ১.১ (Exercise 1.1)

প্ৰশ্ন ১: ইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. (HCF) নিৰ্ণয় কৰা:

(i) 135 আৰু 225

(ii) 196 আৰু 38220

(iii) 867 আৰু 255

উত্তৰ:

(i) 135 আৰু 225:

যিহেতু 225 > 135, আমি 225 ক 135 ৰে ভাগ কৰিলে পাওঁ:

225 = 135 × 1 + 90

যিহেতু ভাগশেষ 90 ≠ 0, আমি 135 আৰু 90 ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:

135 = 90 × 1 + 45

এতিয়াও ভাগশেষ 45 ≠ 0, গতিকে 90 আৰু 45 ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:

90 = 45 × 2 + 0

যিহেতু ভাগশেষ এতিয়া 0 হ’ল, গতিকে এই পৰ্যায়ৰ ভাজক 45 ই হ’ল নিৰ্ণেয় গ.সা.উ.।

গ.সা.উ. (135, 225) = 45

(ii) 196 আৰু 38220:

যিহেতু 38220 > 196, আমি 38220 ক 196 ৰে ভাগ কৰিলে পাওঁ:

38220 = 196 × 195 + 0

যিহেতু প্ৰথম পৰ্যায়তে ভাগশেষ 0 ওলাইছে, গতিকে ভাজক 196 ই হ’ল নিৰ্ণেয় গ.সা.উ.।

গ.সা.উ. (196, 38220) = 196

(iii) 867 আৰু 255:

যিহেতু 867 > 255, আমি 867 ক 255 ৰে ভাগ কৰিলে পাওঁ:

867 = 255 × 3 + 102

যিহেতু ভাগশেষ 102 ≠ 0, আমি 255 আৰু 102 ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:

255 = 102 × 2 + 51

এতিয়াও ভাগশেষ 51 ≠ 0, গতিকে 102 আৰু 51 ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ:

102 = 51 × 2 + 0

যিহেতু ভাগশেষ 0 হ’ল, গতিকে ভাজক 51 ই হ’ল নিৰ্ণেয় গ.সা.উ.।

গ.সা.উ. (867, 255) = 51

প্ৰশ্ন ২: দেখুওৱা যে যিকোনো ধনাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3 বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা অখণ্ড সংখ্যা।

উত্তৰ:

ধৰা হ’ল a এটা ধনাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6।

ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি, a = 6q + r, য’ত 0 ≤ r < 6।

গতিকে r ৰ সম্ভাৱ্য মানবোৰ হ’ল 0, 1, 2, 3, 4, 5।

যদি r = 0, a = 6q (যুগ্ম)

যদি r = 1, a = 6q + 1 (অযুগ্ম)

যদি r = 2, a = 6q + 2 (যুগ্ম)

যদি r = 3, a = 6q + 3 (অযুগ্ম)

যদি r = 4, a = 6q + 4 (যুগ্ম)

যদি r = 5, a = 6q + 5 (অযুগ্ম)

যিহেতু a এটা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে ই 6q, 6q + 2 বা 6q + 4 হ’ব নোৱাৰে।

গতিকে, যিকোনো ধনাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3 বা 6q + 5 আৰ্হিৰ।

প্ৰশ্ন ৩: এটা সৈন্যদলৰ 616 জন সদস্যই 32 জন সদস্য থকা এটা বেণ্ডৰ পাছে পাছে পেৰেড কৰিব লাগে। দুয়োটা দলেই একে সংখ্যক স্তম্ভত পেৰেড কৰিব লাগে। তেওঁলোকে পেৰেড কৰিব পৰা স্তম্ভৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা কিমান?

উত্তৰ:

স্তম্ভৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা হ’ব 616 আৰু 32 ৰ গ.সা.উ.।

ইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি:

616 = 32 × 19 + 8

32 = 8 × 4 + 0

যিহেতু ভাগশেষ 0 হ’ল, গতিকে গ.সা.উ. হ’ল 8।

গতিকে, স্তম্ভৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা হ’ল 8।

প্ৰশ্ন ৪: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ 3m বা 3m + 1 আৰ্হিৰ।

উত্তৰ:

ধৰা হ’ল x এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে ই 3q, 3q + 1 বা 3q + 2 আৰ্হিৰ।

এতিয়া, (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m, য’ত m = 3q²

(3q + 1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1, য’ত m = 3q² + 2q

(3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1, য’ত m = 3q² + 4q + 1

গতিকে, যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ 3m বা 3m + 1 আৰ্হিৰ।

প্ৰশ্ন ৫: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফল 9m, 9m + 1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ।

উত্তৰ:

ধৰা হ’ল x এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে ই 3q, 3q + 1 বা 3q + 2 আৰ্হিৰ।

(3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m

(3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1

(3q + 2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8

গতিকে, যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফল 9m, 9m + 1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ।

অনুশীলনী ১.২ (Exercise 1.2)

প্ৰশ্ন ১: প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

উত্তৰ:

(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7

(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13

(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17

(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429 = 17 × 19 × 23

প্ৰশ্ন ২: তলৰ অখণ্ড সংখ্যাযোৰবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা আৰু সত্যপন কৰা যে ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।

(i) 26 আৰু 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54

উত্তৰ:

(i) 26 = 2 × 13; 91 = 7 × 13

গ.সা.উ. = 13; ল.সা.গু. = 2 × 7 × 13 = 182

সত্যপন: 13 × 182 = 2366; 26 × 91 = 2366 (সত্য)

(ii) 510 = 2 × 3 × 5 × 17; 92 = 2² × 23

গ.সা.উ. = 2; ল.সা.গু. = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460

সত্যপন: 2 × 23460 = 46920; 510 × 92 = 46920 (সত্য)

(iii) 336 = 2⁴ × 3 × 7; 54 = 2 × 3³

গ.সা.উ. = 2 × 3 = 6; ল.সা.গু. = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024

সত্যপন: 6 × 3024 = 18144; 336 × 54 = 18144 (সত্য)

প্ৰশ্ন ৩: মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা:

(i) 12, 15 আৰু 21 (ii) 17, 23 আৰু 29 (iii) 8, 9 আৰু 25

উত্তৰ:

(i) 12 = 2² × 3; 15 = 3 × 5; 21 = 3 × 7

গ.সা.উ. = 3; ল.সা.গু. = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23, 29 আটাইকেইটা মৌলিক সংখ্যা।

গ.সা.উ. = 1; ল.সা.গু. = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8 = 2³; 9 = 3²; 25 = 5²

গ.সা.উ. = 1; ল.সা.গু. = 2³ × 3² × 5² = 1800

প্ৰশ্ন ৪: দিয়া আছে যে গ.সা.উ. (306, 657) = 9, ল.সা.গু. (306, 657) উলিওৱা।

উত্তৰ:

আমি জানো যে, ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল

ল.সা.গু. × 9 = 306 × 657

ল.সা.গু. = (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338

প্ৰশ্ন ৫: পৰীক্ষা কৰা যে n ৰ যিকোনো মানৰ বাবে 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ব পাৰেনে?

উত্তৰ:

যদি কোনো সংখ্যা 0 অংকেৰে শেষ হয়, তেন্তে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 2 আৰু 5 দুয়োটা থাকিব লাগিব।

ইয়াত, 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ

যিহেতু ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 নাই, গতিকে n ৰ কোনো মানৰ বাবে 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ব নোৱাৰে।

প্ৰশ্ন ৬: ব্যাখ্যা কৰা যে 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 কিয় যৌগিক সংখ্যা।

উত্তৰ:

7 × 11 × 13 + 13 = 13(7 × 11 + 1) = 13(77 + 1) = 13 × 78

যিহেতু ইয়াৰ 1 আৰু নিজৰ বাহিৰেও অন্য উৎপাদক আছে, গতিকে ই এটা যৌগিক সংখ্যা।

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5(1008 + 1) = 5 × 1009

যিহেতু ইয়াৰো অন্য উৎপাদক আছে, গতিকে ই এটা যৌগিক সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ৭: এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ আছে। ছোনিয়াই এবাৰ ঘূৰিবলৈ 18 মিনিট লয় আৰু ৰবিয়ে 12 মিনিট লয়। যদি তেওঁলোকে একেটা বিন্দুৰ পৰা একে সময়তে যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে, তেন্তে কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোকে আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব?

উত্তৰ:

তেওঁলোকে আকৌ লগ লগা সময় হ’ব 18 আৰু 12 ৰ ল.সা.গু.।

18 = 2 × 3²

12 = 2² × 3

ল.সা.গু. = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

গতিকে, তেওঁলোকে 36 মিনিট পিছত আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।

অনুশীলনী ১.৩ (Exercise 1.3)

প্ৰশ্ন ১: প্ৰমাণ কৰা যে √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

উত্তৰ:

ধৰা হ’ল √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

গতিকে, √5 = a/b, য’ত a আৰু b সহ-মৌলিক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b ≠ 0।

5 = a²/b² ⇒ a² = 5b²

ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল a², 5 ৰে বিভাজ্য। গতিকে a ও 5 ৰে বিভাজ্য হ’ব।

ধৰা হ’ল a = 5c।

(5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²

ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল b², 5 ৰে বিভাজ্য। গতিকে b ও 5 ৰে বিভাজ্য হ’ব।

যিহেতু a আৰু b দুয়োৰে এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে, ই আমাৰ ধাৰণাটোৰ বিৰোধিতা কৰে।

গতিকে, √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ২: প্ৰমাণ কৰা যে 3 + 2√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

উত্তৰ:

ধৰা হ’ল 3 + 2√5 পৰিমেয়।

3 + 2√5 = a/b ⇒ 2√5 = a/b – 3 ⇒ √5 = (a – 3b)/2b

যিহেতু a আৰু b অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে (a – 3b)/2b এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

কিন্তু ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল √5 ও এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যিটো অসম্ভৱ।

গতিকে, 3 + 2√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ৩: প্ৰমাণ কৰা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়:

(i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2

উত্তৰ:

(i) 1/√2 = a/b ⇒ √2 = b/a। যিহেতু b/a পৰিমেয় কিন্তু √2 অপৰিমেয়, গতিকে 1/√2 অপৰিমেয়।

(ii) 7√5 = a/b ⇒ √5 = a/7b। যিহেতু a/7b পৰিমেয় কিন্তু √5 অপৰিমেয়, গতিকে 7√5 অপৰিমেয়।

(iii) 6 + √2 = a/b ⇒ √2 = a/b – 6। যিহেতু সোঁফালটো পৰিমেয় কিন্তু √2 অপৰিমেয়, গতিকে 6 + √2 অপৰিমেয়।

অনুশীলনী ১.৪ (Exercise 1.4)

প্ৰশ্ন ১: দীঘলীয়া হৰণ নকৰাকৈ তলৰ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম নে অসীম পৌনঃপুনিক তাক নিৰ্ণয় কৰা:

(i) 13/3125 (ii) 17/8 (iii) 64/455 (iv) 15/1600 (v) 29/343 (vi) 23/(2³5²) (vii) 129/(2²5⁷7⁵) (viii) 6/15 (ix) 35/50 (x) 77/210

উত্তৰ:

(i) 13/3125 = 13/5⁵ (সসীম)

(ii) 17/8 = 17/2³ (সসীম)

(iii) 64/455 = 64/(5 × 7 × 13) (অসীম পৌনঃপুনিক)

(iv) 15/1600 = 3/320 = 3/(2⁶ × 5) (সসীম)

(v) 29/343 = 29/7³ (অসীম পৌনঃপুনিক)

(vi) 23/(2³5²) (সসীম)

(vii) 129/(2²5⁷7⁵) (অসীম পৌনঃপুনিক)

(viii) 6/15 = 2/5 (সসীম)

(ix) 35/50 = 7/10 = 7/(2 × 5) (সসীম)

(x) 77/210 = 11/30 = 11/(2 × 3 × 5) (অসীম পৌনঃপুনিক)

প্ৰশ্ন ২: ওপৰৰ প্ৰশ্ন ১ ত থকা যিবোৰ পৰিমেয় সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম সেইবোৰৰ দশমিক বিস্তাৰ লিখা।

উত্তৰ:

(i) 13/3125 = 0.00416

(ii) 17/8 = 2.125

(iv) 15/1600 = 0.009375

(vi) 23/(2³5²) = 23/200 = 0.115

(viii) 6/15 = 0.4

(ix) 35/50 = 0.7

প্ৰশ্ন ৩: তলত কিছুমান বাস্তৱ সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ দিয়া হৈছে। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে সিদ্ধান্ত লোৱা যে সংখ্যাটো পৰিমেয় নে নহয়। যদি ই পৰিমেয় আৰু p/q আৰ্হিৰ, তেন্তে q ৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ বিষয়ে তুমি কি ক’ব পাৰিবা?

(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000… (iii) 43.123456789 (বাৰ থকা)

উত্তৰ:

(i) ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা। যিহেতু দশমিক বিস্তাৰ সসীম, গতিকে q ৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ 2 বা 5 বা দুয়োটা হ’ব।

(ii) ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা (যিহেতু ই অসীম আৰু অপৌনঃপুনিক)।

(iii) ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা। যিহেতু ই অসীম পৌনঃপুনিক, গতিকে q ৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰত 2 আৰু 5 ৰ বাহিৰেও অন্য মৌলিক উৎপাদক থাকিব।

২. ১০ টা ধাৰণাভিত্তিক প্ৰশ্নোত্তৰ (10 Concept-based Q&A)

প্ৰশ্ন ১: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকাটো লিখা।

উত্তৰ: দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে এনে দুটা অনন্য অখণ্ড সংখ্যা q আৰু r পোৱা যাব যাতে a = bq + r, য’ত 0 ≤ r < b।

প্ৰশ্ন ২: পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যটো কি?

উত্তৰ: প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি আৰু এই উৎপাদকীকৰণ অনন্য।

প্ৰশ্ন ৩: পৰিমেয় সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ কেতিয়া সসীম হয়?

উত্তৰ: যদি হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ 2ⁿ5ᵐ আৰ্হিৰ হয়।

প্ৰশ্ন ৪: √2 পৰিমেয় নে অপৰিমেয়?

উত্তৰ: অপৰিমেয়।

প্ৰশ্ন ৫: দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.উ. 1 হ’লে সংখ্যা দুটাক কি বোলে?

উত্তৰ: সহ-মৌলিক সংখ্যা (Co-prime numbers)।

প্ৰশ্ন ৬: π (পাই) পৰিমেয় নে অপৰিমেয়?

উত্তৰ: অপৰিমেয়।

প্ৰশ্ন ৭: ল.সা.গু. (a, b) × গ.সা.উ. (a, b) = ?

উত্তৰ: a × b।

প্ৰশ্ন ৮: 0.333… এটা কি সংখ্যা?

উত্তৰ: পৰিমেয় সংখ্যা (যিহেতু ই পৌনঃপুনিক)।

প্ৰশ্ন ৯: আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাটো কি?

উত্তৰ: 2।

প্ৰশ্ন ১০: আটাইতকৈ সৰু যৌগিক সংখ্যাটো কি?

উত্তৰ: 4।

৩. ১০ টা বিগত বৰ্ষৰ প্ৰশ্নোত্তৰ (10 Previous Year Q&A)

প্ৰশ্ন ১: 196 ৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ ঘাটৰ সমষ্টি কিমান? (HSLC 2020)

উত্তৰ: 196 = 2² × 7²। ঘাটৰ সমষ্টি = 2 + 2 = 4।

প্ৰশ্ন ২: √3 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা বুলি প্ৰমাণ কৰা। (HSLC 2018)

উত্তৰ: (√5 ৰ প্ৰমাণৰ দৰেই কৰিব লাগে)।

প্ৰশ্ন ৩: 17/8 ৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম নে অসীম? (HSLC 2016)

উত্তৰ: সসীম (যিহেতু 8 = 2³)।

প্ৰশ্ন ৪: 135 আৰু 225 ৰ গ.সা.উ. উলিওৱা। (HSLC 2015)

উত্তৰ: 45।

প্ৰশ্ন ৫: 96 আৰু 404 ৰ ল.সা.গু. উলিওৱা। (HSLC 2017)

উত্তৰ: 9696।

প্ৰশ্ন ৬: 0.120120012000… এটা কি সংখ্যা? (HSLC 2019)

উত্তৰ: অপৰিমেয় সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ৭: দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে গ.সা.উ. (a, b) = 1 হ’লে ল.সা.গু. (a, b) কিমান? (HSLC 2021)

উত্তৰ: ab।

প্ৰশ্ন ৮: 6/15 ৰ দশমিক বিস্তাৰ কি হ’ব? (HSLC 2022)

উত্তৰ: সসীম (যিহেতু 6/15 = 2/5)।

প্ৰশ্ন ৯: 3 + 2√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা বুলি প্ৰমাণ কৰা। (HSLC 2014)

উত্তৰ: ধৰা হ’ল 3 + 2√5 পৰিমেয়। গতিকে 3 + 2√5 = a/b ⇒ 2√5 = a/b – 3 ⇒ √5 = (a – 3b)/2b। যিহেতু সোঁফালটো পৰিমেয় কিন্তু বাওঁফালটো অপৰিমেয়, গতিকে ই অসম্ভৱ। গতিকে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।

প্ৰশ্ন ১০: 4ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ব পাৰেনে? (HSLC 2023)

উত্তৰ: নোৱাৰে (যিহেতু 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ, ইয়াত 5 উৎপাদক হিচাপে নাই)।

৪. ২০ টা বহু বিকল্পী প্ৰশ্নোত্তৰ (20 MCQ Q&A)

প্ৰশ্ন ১: তলৰ কোনটো মৌলিক সংখ্যা?

(ক) 15

(খ) 21

(গ) 23

(ঘ) 25

উত্তৰ: (গ) 23

প্ৰশ্ন ২: 17/8 ৰ দশমিক বিস্তাৰ হ’ব—

(ক) সসীম

(খ) অসীম পৌনঃপুনিক

(গ) অসীম অপৌনঃপুনিক

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (ক) সসীম

প্ৰশ্ন ৩: π হ’ল এটা—

(ক) পৰিমেয় সংখ্যা

(খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(গ) অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) স্বাভাৱিক সংখ্যা

উত্তৰ: (খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

প্ৰশ্ন ৪: 96 আৰু 404 ৰ গ.সা.উ. হ’ল—

(ক) 2

(খ) 4

(গ) 8

(ঘ) 12

উত্তৰ: (খ) 4

প্ৰশ্ন ৫: আটাইতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা আৰু আটাইতকৈ সৰু যৌগিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ. হ’ল—

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 4

উত্তৰ: (খ) 2

প্ৰশ্ন ৬: 2 + √3 এটা—

(ক) পৰিমেয় সংখ্যা

(খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(গ) অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

প্ৰশ্ন ৭: 15, 24 আৰু 40 ৰ ল.সা.গু. হ’ল—

(ক) 60

(খ) 120

(গ) 180

(ঘ) 240

উত্তৰ: (খ) 120

প্ৰশ্ন ৮: n² – 1 সংখ্যাটো 8 ৰে বিভাজ্য হ’ব যদি n এটা—

(ক) অখণ্ড সংখ্যা

(খ) স্বাভাৱিক সংখ্যা

(গ) অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) যুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা

উত্তৰ: (গ) অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা

প্ৰশ্ন ৯: 2.35 এটা—

(ক) পৰিমেয় সংখ্যা

(খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(গ) অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (ক) পৰিমেয় সংখ্যা

প্ৰশ্ন ১০: 6 আৰু 20 ৰ গ.সা.উ. আৰু ল.সা.গু. ৰ অনুপাত হ’ল—

(ক) 1:10

(খ) 1:30

(গ) 2:30

(ঘ) 5:10

উত্তৰ: (খ) 1:30

প্ৰশ্ন ১১: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা a = bq + r ত r ৰ মান হ’ব—

(ক) 0 < r < b

(খ) 0 ≤ r < b

(গ) 0 < r ≤ b

(ঘ) 0 ≤ r ≤ b

উত্তৰ: (খ) 0 ≤ r < b

প্ৰশ্ন ১২: তলৰ কোনটো অপৰিমেয় সংখ্যা?

(ক) √4

(খ) √9

(গ) √7

(ঘ) √16

উত্তৰ: (গ) √7

প্ৰশ্ন ১৩: 1.2345 এটা—

(ক) সসীম দশমিক

(খ) অসীম দশমিক

(গ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (ক) সসীম দশমিক

প্ৰশ্ন ১৪: 22/7 এটা—

(ক) পৰিমেয় সংখ্যা

(খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(গ) অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (ক) পৰিমেয় সংখ্যা

প্ৰশ্ন ১৫: 140 ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 2 ৰ ঘাট হ’ল—

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 4

উত্তৰ: (খ) 2

প্ৰশ্ন ১৬: √p এটা অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ব যদি p এটা—

(ক) বৰ্গ সংখ্যা

(খ) মৌলিক সংখ্যা

(গ) যুগ্ম সংখ্যা

(ঘ) অযুগ্ম সংখ্যা

উত্তৰ: (খ) মৌলিক সংখ্যা

প্ৰশ্ন ১৭: দুটা ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যাৰ গ.সা.উ. হ’ল—

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 4

উত্তৰ: (খ) 2

প্ৰশ্ন ১৮: দুটা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ গ.সা.উ. হ’ল—

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 4

উত্তৰ: (ক) 1

প্ৰশ্ন ১৯: 0.1010010001… এটা—

(ক) পৰিমেয় সংখ্যা

(খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

(গ) অখণ্ড সংখ্যা

(ঘ) এটাও নহয়

উত্তৰ: (খ) অপৰিমেয় সংখ্যা

প্ৰশ্ন ২০: 3/2² × 5 ৰ দশমিক বিস্তাৰ কেইটা ঘৰৰ পিছত শেষ হ’ব?

(ক) 1

(খ) 2

(গ) 3

(ঘ) 4

উত্তৰ: (খ) 2

বাস্তৱ সংখ্যা class 10

অধ্যায় – 1 বাস্তৱ সংখ্যা

 অনুশীলনী 1.1 

প্রঃ ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গঃসাঃউঃ উলিওৱা-
i. 135 আৰু 225

প্ৰশ্নটোৰ পৰা 225  তকৈ 135 ডাঙৰ। সেয়েহে, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ,
225 = 135 × 1 + 90
এতিয়া, বাকী 90 ≠ 0, এনেদৰে পুনৰ 90 ৰ বাবে বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ,
135 = 90 × 1 + 45
আকৌ, 45 ≠ 0, ওপৰোক্ত পদক্ষেপটো 45 ৰ বাবে পুনৰাবৃত্তি কৰি, আমি পাওঁ,
90 = 45 × 2 + 0

বাকী এতিয়া শূন্য, সেয়েহে আমাৰ পদ্ধতি ইয়াতে বন্ধ হয়। যিহেতু, অন্তিম পদক্ষেপত, ভাজক 45, সেয়েহে, গ:সা:গু: (225,135) = গ:সা:গু:(135, 90) = গ:সা:গু: (90, 45) = 45।
সেয়েহে, 225 আৰু 135 ৰ গ:সা:গু: হৈছে 45

ii. 196 আৰু 38220

এই প্ৰদত্ত প্ৰশ্নটোত, 38220>196, সেয়েহে ইউক্লিডৰ ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি আৰু 38220 ক ভাজ্য হিচাপে লৈ, আমি পাওঁ,

38220 = 196 × 195 + 0
আমি ইতিমধ্যে ইয়াত বাকী ০  পাইছো। সেয়েহে, গ:সা:গু: (196, 38220) = 196।
সেয়েহে, 196 আৰু 38220 ৰ গ:সা:গু: হৈছে 196।

iii. 867 and 255

এই প্ৰদত্ত প্ৰশ্নটোত, 867>255, সেয়েহে ইউক্লিডৰ ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি আৰু 867 ক ভাজ্য হিচাপে লৈ, আমি পাওঁ,
867 = 255 × 3 + 102
অৱশিষ্ট 102 ≠ 0, সেয়েহে 255 ক ভাজ্য হিচাপে লোৱা আৰু বিভাজন প্ৰমেয়িকা পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰা, আমি পাওঁ,
255 = 102 × 2 + 51
আকৌ, 51 ≠ 0। এতিয়া 102 হৈছে নতুন ভাজ্য, সেয়েহে আমি পোৱা একেই পদক্ষেপ পুনৰাবৃত্তি কৰা,
102 = 51 × 2 + 0

বাকী এতিয়া শূন্য, সেয়েহে আমাৰ প্ৰক্ৰিয়া ইয়াতে বন্ধ হয়। যিহেতু, অন্তিম পদক্ষেপত, ভাজক হৈছে 51, সেয়েহে, গ:সা:গু: (867,255) = গ:সা:গু: (255,102) = গ:সা:গু: (102,51) = 51।
সেয়েহে, 867 আৰু 255 ৰ গ:সা:গু: হৈছে 51।

প্ৰশ্ন 2 দেখুওৱা যে যিকোনাে যােগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q +1, বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনােবা অখণ্ড সংখ্যা।

সমাধান: ধৰা হ’ল,

a যিকোনো ধনাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6 হওঁক। তাৰ পিছত, বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা, a= 6q + r, কিছুমান অখণ্ড সংখ্যা q ≥ 0 ৰ বাবে, আৰু r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, কাৰণ 0≤r<6।
এতিয়া r-ৰ মান সলনি কৰি, আমি পাওঁ,
যদি, r = 0, তেন্তে a = 6q
একেদৰে, r= 1, 2, 3, 4 আৰু 5-ৰ বাবে, a’ৰ মান হৈছে ক্ৰমান্বয়ে 6q+1, 6কিউ+2, 6q+3, 6q+4 আৰু 6q+5।

যদি a = 6q, 6q+2, 6q+4, তেনেহ’লে এটা অযু সংখ্যা আৰু 2 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য। ধনাত্মক ইণ্টেগাৰ এটা যুগ্ম বা অযুগ্ম হ’ব পাৰে সেয়েহে, যিকোনো ধনাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q+1, 6q+3 আৰু 6q+5 ৰ ৰূপৰ হয়, য’ত q হৈছে কিছু অখণ্ড সংখ্যা।

প্ৰশ্ন. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গােটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম -খােজ কাঢ়ি যাবলগীয়া হ’ল। দুটো দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম-খােজ কাঢ়িবলগীয়া হ’ল।তেওঁলােকে খােজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হব?

সমাধানঃ 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃ উঃ এই হৈছে নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা।
ইয়াত, 616> 32

616 আৰু 32 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়ােগ কৰি আমি পাওঁ,

616 = 32 x 19 + 8

যিহেতু 8≠ 0, গতিকে, 32 আৰু 8 ৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন প্রমেযিকা প্রয়ােগ কৰি আমি পাওঁ,
32 = ৪ x 4 + 0

এই পর্যায়ত ভাগশেষ শূন্য হৈছে। যিহেতু এই পর্যায়ত ভাজক 8, গতিকে, 616 আৰু 32 ৰ গঃ সাঃউঃ 8। গতিকে, নির্ণেয় স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 8

বাস্তৱ সংখ্যা class 10

Q. ইউক্লিডৰ ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুৱাব যে যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বৰ্গ টো  3m  বা 3m + 1 প্ৰকাৰৰ হয়।

সমাধান:

ধৰা হল x যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু y = 3।
তেনেহ’লে, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,
x = 3q + r  কিছু অখণ্ড সংখ্যা বাবে  q≥0 and r = 0, 1, 2, as r ≥ 0 and r < 3.
সেয়েহে, x = 3q, 3q+1 আৰু 3q+2

এতিয়া দিয়া প্ৰশ্ন অনুসৰি,দুয়োফালে বৰ্গ কৰি, আমি পাওঁ,

x² = (3q)² = 9q² = 3 × 3q²
ধৰা হল,  3q² = m
সেয়েহে,  x²= 3m …………..(1)
x² = (3q + 1)² = (3q)²+1²+2×3q×1 = 9q² + 1 +6q = 3(3q²+2q) +1

যোগ কৰি, 3q²+2q = m, to get,

x²= 3m + 1 ………………. (2)
x²= (3q + 2)² = (3q)²+2²+2×3q×2 = 9q² + 4 + 12q = 3 (3q² + 4q + 1)+1

আকৌ যোগ কৰি, 3q²+4q+1 = m, পাবলৈ,
x²= 3m + 1…………… (3)

সেয়েহে, সমীকৰণ 1, 2 আৰু 3-ৰ পৰা, আমি ক’ব পাৰোঁ যে, যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বৰ্গ টো 3m  বা 3m + 1 প্ৰকাৰৰ প্ৰকাৰৰ হয়।

5. যিকোনো ধনাত্মক ইণ্টেগাৰৰ ঘন টো 9m, 9m + 1 or 9m + 8. প্ৰকাৰৰ হয়

সমাধান:

ধৰা হল x যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু y = 3
তেনেহ’লে, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা দ্বাৰা,
x = 3q+r, যত  q≥0 আৰু r = 0, 1, 2, যেনেকৈ r ≥ 0 আৰু r < 3.
সেয়েহে, r-ৰ মান বহুৱাই, আমি পাওঁ,

x = 3q
বা
x = 3q + 1
বা
x = 3q + 2
এতিয়া, ওপৰোক্ত তিনিওটা অভিব্যক্তিৰ ঘন লৈ, আমি পাওঁ,
Case (i): যেতিয়া r = 0, তেতিয়া,

x³= (3q)³ = 27q³= 9(3q³)= 9m, যত m = 3q³

Case (ii): যেতিয়া r = 1, তেতিয়া,

x³ = (3q+1)³ = (3q)³ +1³+3×3q×1(3q+1) = 27q³+1+27q²+9q

9 ক সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে লৈ, আমি পাওঁ,

x³ = 9(3q³+3q²+q)+1
m-ৰ মান বহুৱাই আমি পাওঁ,
m= (3q³+3q²⁺q) বহুৱাই আমি পাওঁ,
x³ = 9m+1

Case (iii): যেতিয়া r = 2, তেতিয়া,

x³ = (3q+2)³= (3q)³+2³+3×3q×2(3q+2) = 27q³+54q²+36q+8
9 ক সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে লৈ
x³=9(3q³+6q²+4q)+8
m= (3q³+6q²+4q)  বহুৱাই আমি পাওঁ,
x³ = 9m+8

সেয়েহে, ওপৰত বৰ্ণনা কৰা তিনিওটা ঘটনাৰ পৰা, এইটো প্ৰমাণিত হয় যে যিকোনো ধনাত্মক ইণ্টেগাৰৰ ঘন টো 9m, 9m + 1 or 9m + 8. প্ৰকাৰৰ হয়

বাস্তৱ সংখ্যা class 10  অনুশীলনী 1.2

১) সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

সমাধান সমূহ:

(i) 140

মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ দ্বাৰা আমি পাওঁ
140 = 2 × 2 × 5 × 7 × 1 = 2²×5×7

(ii) 156

156 = 2 × 2 × 13 × 3 × 1 = 2²× 13 × 3

(iii) 3825

3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 × 1 = 3²×5²×17

(iv) 5005

5005 = 5 × 7 × 11 × 13 × 1 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

7429 = 17 × 19 × 23 × 1 = 17 × 19 × 23

দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ১

২) তলৰ অখণ্ড সংখ্যা কেইযোৰৰ লঃসাঃগুঃ উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল।

(i) 26 আৰু 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54

সমাধানসমূহ:

(i) 26 আৰু 91

26 আৰু 91ৰ মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

26 = 2 × 13 × 1

91 = 7 × 13 × 1

সেয়েহে, লঃসাঃগুঃ(26, 91) = 2 × 7 × 13 × 1 = 182

আৰু গঃসাঃগুঃ (26, 91) = 13

সত্যাপন

26 আৰু 91 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল =  26 × 91 = 2366

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = 182 × 13 = 2366

সেয়েহে,

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = 26 আৰু 91 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল

(ii) 510 আৰু 92

510 আৰু 92 ৰ মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

510 = 2 × 3 × 17 × 5 × 1

92 = 2 × 2 × 23 × 1

সেয়েহে, লঃসাঃগুঃ(510, 92) = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460

আৰু গঃসাঃগুঃ  (510, 92) = 2

সত্যাপন

510 আৰু 92 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল =  510 × 92 = 46920

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ =  23460 × 2 = 46920

সেয়েহে,

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = 510 আৰু 92 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল

(iii) 336 and 54

336 আৰু 54 ৰ মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3 × 1

54 = 2 × 3 × 3 × 3 × 1

সেয়েহে, লঃসাঃগুঃ(336, 54) = 3024

আৰু গঃসাঃগুঃ (336, 54) = 2×3 = 6

সত্যাপন

336 আৰু 54 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল = 336 × 54 = 18,144

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = 3024 × 6 = 18,144

সেয়েহে,

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = 336 আৰু 54 সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল

বাস্তৱ সংখ্যা class 10

মৌলিক উৎপাদিকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃগুঃ উলিওৱা

(i) 12, 15 আৰু 21

(ii) 17, 23আৰু 29

(iii) 8, 9আৰু 25

সমাধানসমূহ:

(i) 12, 15 and 21

মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

12=2×2×3

15=5×3

21=7×3

সেয়েহে,

গঃসাঃগুঃ (12,15,21) = 3

লঃসাঃগুঃ (12,15,21) = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 and 29

মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

12=2×2×3

15=5×3

21=7×3

সেয়েহে,

গঃসাঃগুঃ(17,23,29) = 1

লঃসাঃগুঃ(17,23,29) = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9আৰু 25

মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, আমি পাওঁ,

8=2×2×2×1

9=3×3×1

25=5×5×1

সেয়েহে,

গঃসাঃগুঃ(8,9,25)=1

লঃসাঃগুঃ 2×2×2×3×3×5×5 = 1800

Q. দিয়া আছে  (306, 657) =9  লঃসাঃগুঃ(306, 657) উলিওৱা 

সমাধান: আমি সেইটো জানো,

লঃসাঃগুঃ ×গঃসাঃগুঃ = সংখ্যা দুটাৰ পুৰণফল

9 ×লঃসাঃগুঃ = 306 × 657

লঃসাঃগুঃ = (306×657)/9 = 22338

সেয়েহে, লঃসাঃগুঃ = (306×657)/9 = 22338

Q. যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা ৰ বাবে 6ⁿ অংক 0 ৰ সৈতে সমাপ্ত হ’ব পাৰে নে নাই পৰীক্ষা কৰক।

সমাধান: যদি 6ⁿ সংখ্যাটো শূন্য (0)ৰ সৈতে সমাপ্ত হয়, তেন্তে ইয়াক 5 ৰে বিভাজ্য কৰিব লাগে, কিয়নো আমি জানো যে 0 বা 5 হিচাপে একক স্থান থকা যিকোনো সংখ্যা 5 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য।

মৌলিক উৎপাদক  6ⁿ = (2×3)ⁿ

সেয়েহে,  6ⁿ-ৰ মৌলিক উৎপাদক কৰণত প্ৰাইম নম্বৰ 5 নাথাকে।

সেয়েহে, এয়া স্পষ্ট যে যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n-ৰ বাবে, 6n  5 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য নহয় আৰু এনেদৰে ই প্ৰমাণ কৰে যে 6n  যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বাবে অংক 0 ৰ সৈতে শেষ হ’ব নোৱাৰে।

6. কিয় 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 2 × 1 + 5  যৌগিক সংখ্যা।

সমাধান: যৌগিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, আমি জানো, যদি এটা সংখ্যা যৌগিক হয়, তেন্তে ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে ইয়াৰ 1 আৰু নিজৰ বাহিৰে আন কাৰক আছে। সেয়েহে, প্ৰদত্ত অভিব্যক্তিৰ বাবে;

7 × 11 × 13 + 13

13 ক সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে লওঁ, আমি পাওঁ,

=13(7×11×1+1) = 13(77+1) = 13×78 = 13×3×2×13

সেয়েহে, 7 × 11 × 13 + 13 হৈছে এক যৌগিক সংখ্যা।

এতিয়া আন নম্বৰটো লওঁ আহক,

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

5 ক সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে লওঁ, আমি পাওঁ,

=5(7×6×4×3×2×1+1) = 5(1008+1) = 5×1009

সেয়েহে, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 হৈছে এক যৌগিক সংখ্যা।

7. এটা ক্ৰীড়া ক্ষেত্ৰৰ চাৰিওফালে এটা বৃত্তাকাৰ পথ আছে। ছোনিয়াই খেলপথাৰৰ এটা ৰাউণ্ড চলাবলৈ 18 মিনিট সময় লয়, আনহাতে ৰবিয়ে ইয়াৰ বাবে 12 মিনিট সময় লয়। ধৰি লওঁক তেওঁলোক দুয়ো একে সময়তে আৰু একে সময়তে আৰম্ভ কৰে, আৰু একে দিশত যায়। কিমান মিনিটৰ পিছত তেওঁলোকে আৰম্ভণি বিন্দুত পুনৰ লগ পাব?

সমাধান: যিহেতু, ছোনিয়া আৰু ৰবি দুয়ো একে দিশত আগবাঢ়ে আৰু একে সময়তে, তেওঁলোকে আৰম্ভণি বিন্দুত পুনৰ লগ হ’ব সেই সময় উলিয়াবলৈ পদ্ধতিটো হৈছে 18 আৰু 12 ৰ লঃসাঃগুঃ

লঃসাঃগুঃ= (18,12) = 2×3×3×2×1=36

সেয়েহে, ছোনিয়া আৰু ৰবি 36 মিনিটৰ পিছত আৰম্ভণি বিন্দুত পুনৰ লগ হ’ব।

বাস্তৱ সংখ্যা class 10  অনুশীলনী 1.3

1. প্ৰমাণ কৰা যে √5 অপৰিমেয়।

সমাধান: আমি ধৰি লওঁ যে √5 হৈছেপৰিমেয় সংখ্যা।

অৰ্থাৎ √5 = x/y (য’ত, x আৰু y সহ-মৌলিক )

y√5= x

দুয়োফালে বৰ্গ কৰি, আমি পাওঁ,

(y√5)² = x²

⇒5y² = x²……………….. (1)

এনেদৰে, x² 5 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য হয়, সেয়েহে x ও  5-ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য হয়।

আমি কওঁ, x = 5k, k-ৰ কিছু মানৰ বাবে আৰু সমীকৰণ (1) ত x মান প্ৰতিস্থাপন কৰক  আমি পাওঁ,

5y² = (5k)²

⇒y² = 5k²

5 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে  y ও 5 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য।

স্পষ্টকৈ, x আৰু y সহ-মৌলিক নহয়। সেয়েহে, √5 সম্পৰ্কে আমাৰ ধাৰণা যুক্তিসঙ্গত, অশুদ্ধ।

সেয়েহে, √5 হৈছে এক অপৰিমেয় সংখ্যা।

প্ৰমাণ কৰা যে 3 + 2√5 + অপৰিমেয়।

সমাধান: আমি ধৰি লওঁ 3 + 2√5 অপৰিমেয়।

তাৰ পিছত আমি সহ-মৌলিক x আৰু y (y ≠ 0) এনেদৰে বিচাৰি পাম যে 3 + 2√5 = x/y

পুনৰ সজ্জিত কৰি, আমি পাওঁ,

যিহেতু, x আৰু y হৈছে অখণ্ড সংখ্যা, এনেদৰে,

এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

সেয়েহে, √5 হৈছে এক পৰিমেয় সংখ্যা। কিন্তু ই এই সত্যৰ বিৰোধিতা কৰে যে √5 অপৰিমেয়। সেয়েহে, আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।

দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ১

3. প্ৰমাণ কৰা যে নিম্নলিখিতবোৰ অপৰিমেয়:

(i) 1/√2

(ii) 7√5

(iii) 6 + √2

সমাধানসমূহ:

(i) 1/√2

আমি ধৰি লওঁ যে 1/√2 পৰিমেয়।

তাৰ পিছত আমি সহ-মৌলিক x আৰু y (y ≠ 0) এনেদৰে বিচাৰি পাম যে1/√2 = x/y

পুনৰ সজ্জিত কৰি , আমি পাওঁ,

√2 = y/x

যিহেতু, x আৰু y হৈছে পূৰ্ণসংখ্যা, সেয়েহে, √2 হৈছে এক পৰিমেয় সংখ্যা, যি √2 অপৰিমেয় বুলি বিৰোধিতা কৰে।

সেয়েহে, আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে 1/√2 অপৰিমেয়।

(ii) 7√5

আমি ধৰি লওঁ যে 7√5 পৰিমেয়।

তাৰ পিছত আমি সহ-মৌলিক x আৰু y (y ≠ 0) এনেদৰে বিচাৰি পাম যে 7√5 = x/y

পুনৰ সজ্জিত কৰি , আমি পাওঁ,

√5 = y/x

যিহেতু, x আৰু y হৈছে পূৰ্ণসংখ্যা, সেয়েহে, √5 হৈছে এক পৰিমেয় সংখ্যা, যি √5 অপৰিমেয় বুলি বিৰোধিতা কৰে।

সেয়েহে, আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে 7√5 অপৰিমেয়।

(iii) 6 + √2

আমি ধৰি লওঁ যে 6 + √2 পৰিমেয়।

তাৰ পিছত আমি সহ-মৌলিক x আৰু y (y ≠ 0) এনেদৰে বিচাৰি পাম যে 6 + √2 = x/y

পুনৰ সজ্জিত কৰি , আমি পাওঁ,

√2 = (x/y) – 6

যিহেতু, x আৰু y হৈছে পূৰ্ণসংখ্যা, সেয়েহে, (x/y) – 6 হৈছে এক পৰিমেয় সংখ্যা, যি  √2 অপৰিমেয় বুলি বিৰোধিতা কৰে।

সেয়েহে, আমি এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে 6 + √2 অপৰিমেয়।

বাস্তৱ সংখ্যা class 10

 অনুশীলনী 1.4

1. প্ৰকৃততে দীঘলীয়া বিভাজন টো সম্পাদন নকৰাকৈ, নিম্নলিখিত যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাবোৰৰ দশমিক সম্প্ৰসাৰণ সমাপ্ত হ’ব নে অসমাপ্ত  দশমিক সম্প্ৰসাৰণ হ’ব:

(i) 13/3125 (ii) 17/8 (iii) 64/455 (iv) 15/1600 (v) 29/343 (vi) 23/(2³5²) (vii) 129/(2²5⁷7⁵) (viii) 6/15 (ix) 35/50 (x) 77/210

সমাধানসমূহ:

টোকা: যদি হৰটোৰ  উৎপাদক বোৰৰ গুণফল কেৱল  2 আৰু 5  থাকে বা 2m ×5n  ৰূপত থাকে তেনেহ’লে ই দশমিক সম্প্ৰসাৰণ সমাপ্ত হ’ব।

যদি হৰটোৰ 2 আৰু 5-ৰ বাহিৰে আন মৌলিক উৎপাদক থাকে তেনেহ’লে ইয়াৰ দশমিক সম্প্ৰসাৰণ অসমাপ্ত  হয়।

(i) 13/3125

হৰৰ উৎপাদক বোৰ, আমি পাওঁ,

3125 = 5 × 5 × 5 = 5⁵

যিহেতু, হৰটোৰ উৎপাদক হিচাপে মাত্ৰ 5  আছে, 13/3125-ত দশমিক সম্প্ৰসাৰণ সমাপ্ত হৈছে।

(ii) 17/8

হৰৰ উৎপাদক বোৰ, আমি পাওঁ,

8 = 2×2×2 = 2³

যিহেতু, হৰটোৰ উৎপাদক হিচাপে মাত্ৰ 3  আছে, 17/8-ত দশমিক সম্প্ৰসাৰণ সমাপ্ত হৈছে।

(iii) 64/455

হৰৰ উৎপাদক বোৰ, আমি পাওঁ,

455 = 5×7×13

যিহেতু, হৰটো 2m × 5n ৰূপত নহয়, সেয়েহে 64/455-ত দশমিক অসমাপ্ত ।

(iv) 15/ 1600

হৰৰ উৎপাদক বোৰ, আমি পাওঁ,

1600 = 2⁶  5²

যিহেতু, হৰটোৰ উৎপাদক হিচাপে মাত্ৰ  2^m × 5ⁿ  আছে, 15/ 1600-ত দশমিক সম্প্ৰসাৰণ সমাপ্ত হৈছে।