শেহতীয়া তথ্য অনুসৰি, SEBA HSLC গণিতৰ পৰীক্ষাৰ গাঁথনি আৰু নম্বৰ বিভাজন তলত দিয়া ধৰণৰ:
- মুঠ নম্বৰ: ১০০
- লিখিত পৰীক্ষা (Theory): ৯০ নম্বৰ
- আভ্যন্তৰীণ মূল্যায়ন (Internal Assessment): ১০ নম্বৰ
- পাস নম্বৰ: লিখিত পৰীক্ষাত ২৭ (৯০ ৰ ভিতৰত) আৰু আভ্যন্তৰীণ মূল্যায়নত ৩ (১০ ৰ ভিতৰত) পাব লাগিব।
লিখিত পৰীক্ষাৰ ৯০ নম্বৰ বিভিন্ন অধ্যায়ৰ মাজত ভাগ কৰা হয়। তলত অধ্যায় অনুযায়ী নম্বৰ বিভাজনৰ এক সম্ভাৱ্য তালিকা দিয়া হ’ল:
SEBA HSLC গণিতৰ পৰীক্ষাৰ Sample Paper
| অধ্যায় | নম্বৰ |
|---|---|
| বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers) | ৫ |
| বহুপদ (Polynomials) | ৮ |
| দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (Pair of Linear Equations) | ৭ |
| দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equations) | ৬ |
| সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progressions) | ৬ |
| ত্ৰিভুজ (Triangles) | ৬ |
| স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry) | ৭ |
| ত্ৰিকোণমিতিৰ পৰিচয় (Introduction to Trigonometry) | ৭ |
| বৃত্ত (Circles) | ৬ |
| অংকন (Constructions) | ৪ |
| বৃত্ত সম্পৰ্কীয় কালি (Areas Related to Circles) | ৬ |
| পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন (Surface Areas and Volumes) | ৬ |
| পৰিসংখ্যা (Statistics) | ৭ |
| সম্ভাৱিতা (Probability) | ৫ |
আদৰ্শ প্ৰশ্নকাকত (২০২৫-২৬)
বিষয়: সাধাৰণ গণিত
শ্ৰেণী: দশম (HSLC)
মাধ্যম: অসমীয়া
মুঠ নম্বৰ: ৯০
সময়: ৩ ঘণ্টা
(নিৰ্দেশনা: প্ৰতিটো খণ্ডৰ সকলো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিয়াটো বাধ্যতামূলক।)
‘ক’ খণ্ড (Group A)
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ১)
তলৰ প্ৰশ্নবোৰৰ শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা:
- তলৰ কোনটো অপৰিমেয় সংখ্যা?
(a) √4
(b) √9
(c) √7
(d) √16 - এটা দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিৰ শূন্য দুটাৰ যোগফল -3 আৰু পূৰণফল 2 হ’লে, বহুপদ ৰাশিটো হ’ব:
(a) x² – 3x + 2
(b) x² + 3x + 2
(c) x² + 3x – 2
(d) x² – 3x – 2 - 2x + 3y = 5 আৰু 4x + 6y = 10 সমীকৰণযোৰৰ সমাধানৰ সংখ্যা কিমান?
(a) এটা
(b) দুটা
(c) অসীম
(d) এটাও নাই - এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ 5 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 3 হ’লে, ইয়াৰ দশম পদটো কি হ’ব?
(a) 30
(b) 32
(c) 35
(d) 38 - দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ কালিৰ অনুপাত 16:25 হ’লে, সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুবোৰৰ অনুপাত কিমান?
(a) 4:5
(b) 5:4
(c) 16:25
(d) 25:16 - (3, 5) আৰু (7, 8) বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6 - যদি sin A = 3/5 হয়, তেন্তে cos A ৰ মান কিমান?
(a) 4/5
(b) 5/4
(c) 3/4
(d) 5/3 - এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শক আৰু স্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ মাজৰ কোণটো কিমান?
(a) 45°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 180° - এটা লুডু গুটি এবাৰ মাৰিলে 6 উঠাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
(a) 1/2
(b) 1/3
(c) 1/6
(d) 1 - প্ৰথম 5 টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গড় কিমান?
(a) 2
(b) 2.5
(c) 3
(d) 3.5
‘খ’ খণ্ড (Group B)
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ২)
- মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে 96 আৰু 404 ৰ গ.সা.উ. আৰু ল.সা.গু. উলিওৱা।
- এটা দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্য দুটা 2 আৰু -1/3।
- k ৰ কি মানৰ বাবে 2x + ky = 1 আৰু 3x – 5y = 7 সমীকৰণযোৰৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব?
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 11-তম পদ 38 আৰু 16-তম পদ 73 হ’লে, প্ৰগতিটোৰ 31-তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা।
- দেখুওৱা যে (1, 7), (4, 2), (-1, -1) আৰু (-4, 4) বিন্দুবোৰ এটা বৰ্গৰ শীৰ্ষবিন্দু।
- মান নিৰ্ণয় কৰা: 2tan²45° + cos²30° – sin²60°
- 5 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 13 ছে.মি. দূৰত্বত থকা এটা বিন্দুৰ পৰা বৃত্তটোলৈ টনা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা বাকচত 3 টা নীলা, 2 টা বগা আৰু 4 টা ৰঙা মাৰ্বল আছে। যদি এটা মাৰ্বল যাদৃচ্ছিকভাৱে উলিওৱা হয়, তেন্তে ই (i) বগা হোৱা আৰু (ii) নীলা নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
‘গ’ খণ্ড (Group C)
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৩)
তলৰ বিভাজন তালিকাৰ পৰা মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰা:
শ্ৰেণী বিভাজন 65-85 85-105 105-125 125-145 145-165
বাৰংবাৰতা 4 5 13 20 14 ‘ঘ’ খণ্ড (Group D) (প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৪)
- দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ 8 গুণ। সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
অথবা
এখন নাওৰ স্থিৰ পানীত গতি 18 কি.মি./ঘণ্টা। সোঁতৰ প্ৰতিকূলে 24 কি.মি. যাবলৈ লগা সময়, সোঁতৰ অনুকূলে একে দূৰত্ব যাবলৈ লগা সময়তকৈ 1 ঘণ্টা বেছি। সোঁতৰ গতি নিৰ্ণয় কৰা। - 60 মিটাৰ উচ্চতাৰ এটা অট্টালিকাৰ শিখৰৰ পৰা এটা স্তম্ভৰ শিখৰ আৰু পাদবিন্দুলৈ অৱনতি কোণ দুটা ক্ৰমে 30° আৰু 60°। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
- প্ৰমাণ কৰা যে যদি এডাল ৰেখাই এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুক সমানুপাতত ভাগ কৰে, তেন্তে ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হ’ব।
অথবা
পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যটো লিখা আৰু প্ৰমাণ কৰা। - এটা পাত্ৰ ওলোটা শঙ্কু আকৃতিৰ। ইয়াৰ উচ্চতা 8 ছে.মি. আৰু মুখৰ ব্যাসাৰ্ধ 5 ছে.মি.। পাত্ৰটো পানীৰে সম্পূৰ্ণকৈ ভৰ্তি হৈ আছে। যেতিয়া 0.5 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ কিছুমান সীহৰ গুলী পাত্ৰটোত পেলোৱা হয়, তেতিয়া এক-চতুৰ্থাংশ পানী বাহিৰলৈ ওলাই যায়। পাত্ৰটোত পেলোৱা গুলীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
প্ৰমাণ কৰা যে √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
সমাধান কৰা: 2/x + 3/y = 13 আৰু 5/x – 4/y = -2
এটা ৰেলগাড়ীয়ে 360 কি.মি. দূৰত্ব একে গতিত অতিক্ৰম কৰে। যদি গাড়ীখনৰ গতি 5 কি.মি./ঘণ্টা বেছি হ’লহেঁতেন, তেন্তে যাত্ৰাটো সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ 1 ঘণ্টা কম সময় লাগিলহেঁতেন। ৰেলগাড়ীখনৰ গতি নিৰ্ণয় কৰা।
যদি A(-2, -2) আৰু B(2, -4) সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক P বিন্দুৱে এনেদৰে ভাগ কৰে যে AP = 3/7 AB, তেন্তে P বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।
প্ৰমাণ কৰা যে: (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A
6 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত অংকন কৰা। কেন্দ্ৰৰ পৰা 10 ছে.মি. দূৰত্বত থকা এটা বিন্দুৰ পৰা বৃত্তটোলৈ এডাল স্পৰ্শক আঁকা আৰু তাৰ দৈৰ্ঘ্য জোখা।
এটা ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাডালৰ দৈৰ্ঘ্য 14 ছে.মি.। কাঁটাডালে 5 মিনিটত আৱৰা কালি নিৰ্ণয় কৰা।
অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন (অনুশীলনৰ বাবে)
বীজগণিত (Algebra)
(বহুপদ, দ্বিঘাত সমীকৰণ, সমান্তৰ প্ৰগতি)
- (২ নম্বৰ) 3x² + 5x – 2 বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্য দুটা উলিওৱা আৰু শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা।
- (৩ নম্বৰ) যদি এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ n-তম পদটো 3 + 4n হয়, তেন্তে ইয়াৰ প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
- (৪ নম্বৰ) এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণডাল ইয়াৰ সৰু বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি। যদি ডাঙৰ বাহুটো সৰু বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি হয়, তেন্তে পথাৰখনৰ বাহু দুডালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
- (৪ নম্বৰ) এনে দুটা ক্ৰমিক অযুগ্ম ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 290।
জ্যামিতি (Geometry)
(ত্ৰিভুজ, বৃত্ত, অংকন)
- (৩ নম্বৰ) ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ যাৰ C কোণটো সমকোণ। প্ৰমাণ কৰা যে AB² = 2AC²।
- (৪ নম্বৰ) প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তৰ পৰিলিখা এটা সামান্তৰিক হ’লে, ই এটা ৰম্বাছ হ’ব।
- (৩ নম্বৰ) 4 ছে.মি., 5 ছে.মি. আৰু 6 ছে.মি. বাহুযুক্ত এটা ত্ৰিভুজ অংকন কৰা আৰু ইয়াৰ সদৃশ আন এটা ত্ৰিভুজ অংকন কৰা যাৰ বাহুবোৰ প্ৰথম ত্ৰিভুজটোৰ অনুৰূপ বাহুৰ 2/3 গুণ।
- (৪ নম্বৰ) 10 মিটাৰ ওখ এডাল জখলাই এখন দেৱালত এনেদৰে আঁউজি আছে যে ই মাটিৰ পৰা 8 মিটাৰ উচ্চতাত থকা এখন খিৰিকী স্পৰ্শ কৰিছে। জখলাডালৰ পাদবিন্দু আৰু দেৱালখনৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
ত্ৰিকোণমিতি (Trigonometry)
- (২ নম্বৰ) যদি 15cot A = 8 হয়, তেন্তে sin A আৰু sec A ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
- (৩ নম্বৰ) প্ৰমাণ কৰা যে: √(1+sinA) / (1-sinA) = secA + tanA
- (৪ নম্বৰ) ধুমুহাত গছ এজোপা মাজতে ভাগি পৰিল আৰু ভগা অংশটোৱে মাটিৰ লগত 30° কোণ কৰি গছজোপাৰ গুৰিৰ পৰা 8 মিটাৰ দূৰত্বত মাটিত স্পৰ্শ কৰিলে। গছজোপাৰ মুঠ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
পৰিমিতি (Mensuration)
- (৩ নম্বৰ) এটা দৌৰ পথ আঙঠি আকৃতিৰ, যাৰ ভিতৰৰ পৰিধি 352 মিটাৰ আৰু বাহিৰৰ পৰিধি 396 মিটাৰ। পথটোৰ প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
- (৪ নম্বৰ) ক্ৰমে 6 ছে.মি., 8 ছে.মি. আৰু 10 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ তিনিটা ধাতুৰ গোলক গলাই এটা ডাঙৰ গোলক বনোৱা হ’ল। নতুন গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
- (৪ নম্বৰ) 12 ছে.মি. ব্যাস আৰু 15 ছে.মি. উচ্চতাৰ এটা চুঙা আকৃতিৰ পাত্ৰ আইচক্ৰীমেৰে সম্পূৰ্ণ হৈ আছে। এই আইচক্ৰীমখিনি 12 ছে.মি. উচ্চতা আৰু 6 ছে.মি. ব্যাসৰ শঙ্কু আকৃতিৰ কাপত ভৰাব লাগে, যাৰ ওপৰত এটা অৰ্ধগোলক থাকিব। কেইটা কাপত আইচক্ৰীম ভৰাব পৰা যাব?
উত্তৰমালা প্ৰস্তুত
আদৰ্শ প্ৰশ্নকাকত (২০২৫-২৬) – সমাধান
বিষয়: সাধাৰণ গণিত
মুঠ নম্বৰ: ৯০
‘ক’ খণ্ড (Group A) – সমাধান
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ১)
- উত্তৰ: (c) √7 (কাৰণ 7 এটা পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা নহয়)
- উত্তৰ: (b) x² + 3x + 2 (সূত্ৰ: x² – (α+β)x + αβ)
- উত্তৰ: (c) অসীম (কাৰণ a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 5/10 = 1/2; গতিকে a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂)
- উত্তৰ: (b) 32 (a₁₀ = a + 9d = 5 + 9×3 = 5 + 27 = 32)
- উত্তৰ: (a) 4:5 (কালিৰ অনুপাতৰ বৰ্গমূল = বাহুৰ অনুপাত, √16:√25 = 4:5)
- উত্তৰ: (c) 5 (দূৰত্ব = √[(7-3)² + (8-5)²] = √[4² + 3²] = √[16+9] = √25 = 5)
- উত্তৰ: (a) 4/5 (cos A = √(1 – sin²A) = √(1 – (3/5)²) = √(1 – 9/25) = √(16/25) = 4/5)
- উত্তৰ: (c) 90° (বৃত্তৰ স্পৰ্শক সম্পৰ্কীয় উপপাদ্য)
- উত্তৰ: (c) 1/6 (মুঠ ফলাফল = 6, অনুকূল ফলাফল = 1)
- উত্তৰ: (c) 3 (গড় = (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3)
‘খ’ খণ্ড (Group B) – সমাধান
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ২)
- সমাধান:
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3
404 = 2 × 2 × 101 = 2² × 101
∴ গ.সা.উ. (HCF) = 2² = 4
∴ ল.সা.গু. (LCM) = 2⁵ × 3 × 101 = 32 × 3 × 101 = 9696 - সমাধান:
শূন্য দুটা 2 আৰু -1/3।
শূন্যৰ যোগফল = 2 + (-1/3) = 5/3
শূন্যৰ পূৰণফল = 2 × (-1/3) = -2/3
∴ দ্বিঘাত বহুপদ = k [x² – (যোগফল)x + (পূৰণফল)]
= k [x² – (5/3)x – 2/3]
k = 3 ল’লে, আমি পাওঁ: 3x² – 5x – 2 - সমাধান:
অদ্বিতীয় সমাধানৰ চৰ্ত হ’ল: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
ইয়াত, a₁=2, b₁=k, a₂=3, b₂=-5
⇒ 2/3 ≠ k/(-5)
⇒ 3k ≠ -10
⇒ k ≠ -10/3
গতিকে, k ৰ মান -10/3 ৰ বাহিৰে আন যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা হ’লে সমীকৰণযোৰৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব। - সমাধান:
a₁₁ = a + 10d = 38 —(i)
a₁₆ = a + 15d = 73 —(ii)
(ii) – (i) কৰিলে আমি পাওঁ:
5d = 35 ⇒ d = 7
d ৰ মান (i) ত বহুৱাই: a + 10(7) = 38 ⇒ a = 38 – 70 = -32
∴ 31-তম পদ, a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178 - সমাধান:
A(1,7), B(4,2), C(-1,-1), D(-4,4)
AB = √[(4-1)²+(2-7)²] = √[3²+(-5)²] = √34
BC = √[(-1-4)²+(-1-2)²] = √[(-5)²+(-3)²] = √34
CD = √[(-4+1)²+(4+1)²] = √[(-3)²+5²] = √34
DA = √[(1+4)²+(7-4)²] = √[5²+3²] = √34
কৰ্ণ AC = √[(-1-1)²+(-1-7)²] = √[(-2)²+(-8)²] = √68
কৰ্ণ BD = √[(-4-4)²+(4-2)²] = √[(-8)²+2²] = √68
যিহেতু চাৰিওটা বাহু সমান (AB=BC=CD=DA) আৰু কৰ্ণ দুডালো সমান (AC=BD), গতিকে বিন্দুবোৰ এটা বৰ্গৰ শীৰ্ষবিন্দু। - সমাধান:
2tan²45° + cos²30° – sin²60°
= 2(1)² + (√3/2)² – (√3/2)²
= 2 + 3/4 – 3/4
= 2 - সমাধান:
বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ (r) = 5 ছে.মি., কেন্দ্ৰৰ পৰা বিন্দুৰ দূৰত্ব (d) = 13 ছে.মি.।
স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য (l) = √(d² – r²)
= √(13² – 5²) = √(169 – 25) = √144 = 12 ছে.মি.। - সমাধান:
মুঠ মাৰ্বল = 3 (নীলা) + 2 (বগা) + 4 (ৰঙা) = 9
(i) বগা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা, P(বগা) = 2/9
(ii) নীলা নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা, P(নীলা নোহোৱা) = 1 – P(নীলা) = 1 – 3/9 = 6/9 = 2/3
‘গ’ খণ্ড (Group C) – সমাধান
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৩)
- সমাধান:
ধৰাহ’ল √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
তেন্তে, √5 = a/b, য’ত a আৰু b সহ-মৌলিক আৰু b ≠ 0।
⇒ 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b² —(i)
ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল 5 এ a² ক হৰণ কৰে, গতিকে 5 এ a ক’ও হৰণ কৰিব।
এতিয়া, a = 5c, য’ত c এটা অখণ্ড সংখ্যা।
a ৰ মান (i) ত বহুৱাই: (5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²
ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল 5 এ b² ক হৰণ কৰে, গতিকে 5 এ b ক’ও হৰণ কৰিব।
এতেকে, a আৰু b উভয়ৰে সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে।
কিন্তু আমি ধৰি লৈছিলোঁ যে a আৰু b সহ-মৌলিক। ই আমাৰ ধাৰণাৰ বিপৰীত।
গতিকে আমাৰ ধাৰণাটো ভুল। √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। (প্ৰমাণিত) - সমাধান:
ধৰাহ’ল 1/x = u আৰু 1/y = v
2u + 3v = 13 —(i)
5u – 4v = -2 —(ii)
(i) × 4 ⇒ 8u + 12v = 52
(ii) × 3 ⇒ 15u – 12v = -6
যোগ কৰি: 23u = 46 ⇒ u = 2
u ৰ মান (i) ত বহুৱাই: 2(2) + 3v = 13 ⇒ 3v = 9 ⇒ v = 3
এতিয়া, u = 1/x = 2 ⇒ x = 1/2
v = 1/y = 3 ⇒ y = 1/3 - সমাধান:
ধৰাহ’ল ৰেলগাড়ীখনৰ গতি x কি.মি./ঘণ্টা।
প্ৰশ্নমতে, 360/x – 360/(x+5) = 1
⇒ 360(x+5 – x) / [x(x+5)] = 1
⇒ 360 × 5 = x² + 5x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0
⇒ x(x+45) – 40(x+45) = 0
⇒ (x-40)(x+45) = 0
যিহেতু গতি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, x = 40
∴ ৰেলগাড়ীখনৰ গতি 40 কি.মি./ঘণ্টা। - সমাধান:
দিয়া আছে, AP = (3/7)AB ⇒ AP/AB = 3/7
AP/PB = AP/(AB-AP) = 3/(7-3) = 3/4
গতিকে, P বিন্দুৱে AB ক 3:4 অনুপাতত ভাগ কৰে।
বিভাজন সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, P(x, y):
x = (3×2 + 4×(-2)) / (3+4) = (6-8)/7 = -2/7
y = (3×(-4) + 4×(-2)) / (3+4) = (-12-8)/7 = -20/7
∴ P বিন্দুৰ স্থানাংক (-2/7, -20/7)। - সমাধান:
LHS = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin²A + cosec²A + 2sinA cosecA) + (cos²A + sec²A + 2cosA secA)
= (sin²A + cos²A) + (1 + cot²A) + 2(1) + (1 + tan²A) + 2(1)
[কাৰণ sinA cosecA = 1, cosA secA = 1, cosec²A = 1+cot²A, sec²A = 1+tan²A]
= 1 + 1 + cot²A + 2 + 1 + tan²A + 2
= 7 + tan²A + cot²A = RHS (প্ৰমাণিত) - সমাধান:
(অংকনৰ পদক্ষেপসমূহ ইয়াত বৰ্ণনা কৰা হৈছে, শিক্ষাৰ্থীয়ে নিজে আঁকিব লাগিব)- O কেন্দ্ৰ হিচাপে লৈ 6 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা।
- কেন্দ্ৰ O ৰ পৰা 10 ছে.মি. দূৰত্বত P এটা বিন্দু লোৱা। OP সংযোগ কৰা।
- OP ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকা, যি OP ক M বিন্দুত কাটে।
- M ক কেন্দ্ৰ আৰু MO ক ব্যাসাৰ্ধ হিচাপে লৈ এটা বৃত্ত আঁকা।
- এই নতুন বৃত্তটোৱে প্ৰদত্ত বৃত্তটোক Q আৰু R বিন্দুত কাটিব।
- PQ আৰু PR সংযোগ কৰা। PQ আৰু PR হ’ল নিৰ্ণেয় স্পৰ্শক।
দৈৰ্ঘ্য জোখ: সমকোণী ত্ৰিভুজ ΔPQO ত, PQ = √(OP² – OQ²) = √(10² – 6²) = √(100-36) = √64 = 8 ছে.মি.।
- সমাধান:
মিনিটৰ কাঁটাৰ দৈৰ্ঘ্য (r) = 14 ছে.মি.।
60 মিনিটত কাঁটাডালে 360° কোণ কৰে।
∴ 5 মিনিটত কৰা কোণ (θ) = (360/60) × 5 = 30°
5 মিনিটত আৱৰা কালি (বৃত্তকলাৰ কালি) = (θ/360) × πr²
= (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/12) × 22 × 2 × 14
= (1/3) × 11 × 14 = 154/3 = 51.33 ছে.মি.² (প্ৰায়)। - সমাধান: শ্ৰেণী বিভাজন বাৰংবাৰতা (f) সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা (cf) 65-85 4 4 85-105 5 9 105-125 13 22 125-145 20 42 145-165 14 56 ইয়াত, n = 56, গতিকে n/2 = 28।
সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা 28 তকৈ ঠিক ডাঙৰটো হ’ল 42, কিন্তু মধ্যমা শ্ৰেণী হ’ব 125-145।
(Note: In the provided question, the cf right after n/2=28 is 42, so the median class is 125-145. Let’s re-calculate based on the class 125-145) মধ্যমা শ্ৰেণী = 125-145
l = 125, n/2 = 28, cf = 22 (আগৰ শ্ৰেণীৰ cf), f = 20, h = 20
মধ্যমা = l + [(n/2 – cf)/f] × h
= 125 + [(28 – 22)/20] × 20
= 125 + (6/20) × 20
= 125 + 6 = 131
‘ঘ’ খণ্ড (Group D) – সমাধান
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৪)
- সমাধান:
ধৰাহ’ল ডাঙৰ সংখ্যাটো x আৰু সৰু সংখ্যাটো y।
প্ৰশ্নমতে, x² – y² = 180 —(i)
আৰু y² = 8x —(ii)
(ii) ৰ মান (i) ত বহুৱাই: x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
⇒ x² – 18x + 10x – 180 = 0
⇒ x(x-18) + 10(x-18) = 0
⇒ (x-18)(x+10) = 0
x = 18 বা x = -10।
যদি x = -10, তেন্তে y² = 8(-10) = -80, যিটো সম্ভৱ নহয়।
গতিকে, x = 18।
y² = 8(18) = 144 ⇒ y = ±12
∴ সংখ্যা দুটা হ’ল 18 আৰু 12 বা 18 আৰু -12। অথবা
সমাধান:
ধৰাহ’ল সোঁতৰ গতি x কি.মি./ঘণ্টা।
নাওৰ গতি = 18 কি.মি./ঘণ্টা।
সোঁতৰ অনুকূলে গতি = (18+x) কি.মি./ঘণ্টা।
সোঁতৰ প্ৰতিকূলে গতি = (18-x) কি.মি./ঘণ্টা।
প্ৰশ্নমতে, 24/(18-x) – 24/(18+x) = 1
⇒ 24[(18+x) – (18-x)] / [(18-x)(18+x)] = 1
⇒ 24(2x) / (324 – x²) = 1
⇒ 48x = 324 – x²
⇒ x² + 48x – 324 = 0
⇒ x² + 54x – 6x – 324 = 0
⇒ x(x+54) – 6(x+54) = 0
⇒ (x-6)(x+54) = 0
যিহেতু গতি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, x = 6।
∴ সোঁতৰ গতি 6 কি.মি./ঘণ্টা। - সমাধান:
ধৰাহ’ল AB অট্টালিকা (60 মি) আৰু CD স্তম্ভ (h মি)।
ΔABD ত, tan 60° = AB/BD ⇒ √3 = 60/BD ⇒ BD = 60/√3 = 20√3 মি।
CE = BD = 20√3 মি।
AE = AB – EB = 60 – h।
ΔAEC ত, tan 30° = AE/CE
⇒ 1/√3 = (60-h) / (20√3)
⇒ 20√3 / √3 = 60 – h
⇒ 20 = 60 – h
⇒ h = 40 মি।
∴ স্তম্ভটোৰ উচ্চতা 40 মিটাৰ। - সমাধান:
মৌলিক সমানুপাতিকতাৰ উপপাদ্যৰ বিপৰীত (Converse of BPT):
বিবৃতি: যদি এডাল ৰেখাই এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুক সমানুপাতত ভাগ কৰে, তেন্তে ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হ’ব।
প্ৰমাণ: (পাঠ্যপুথিৰ সহায় ল’ব পাৰে) অথবা
পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য:
বিবৃতি: এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কৰ্ণৰ বৰ্গ আন দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
প্ৰমাণ: (পাঠ্যপুথিৰ সহায় ল’ব পাৰে) - সমাধান:
শঙ্কুৰ উচ্চতা (H) = 8 ছে.মি., ব্যাসাৰ্ধ (R) = 5 ছে.মি.।
শঙ্কুৰ আয়তন = (1/3)πR²H = (1/3)π(5)²(8) = 200π/3 ছে.মি.³।
ওলাই যোৱা পানীৰ আয়তন = (1/4) × (200π/3) = 50π/3 ছে.মি.³। সীহৰ গুলীৰ ব্যাসাৰ্ধ (r) = 0.5 ছে.মি.।
এটা গুলীৰ আয়তন = (4/3)πr³ = (4/3)π(0.5)³ = (4/3)π(0.125) = 0.5π/3 ছে.মি.³। ধৰাহ’ল পেলোৱা গুলীৰ সংখ্যা n।
n × (এটা গুলীৰ আয়তন) = ওলাই যোৱা পানীৰ আয়তন
n × (0.5π/3) = 50π/3
⇒ 0.5n = 50
⇒ n = 50 / 0.5 = 100
∴ পাত্ৰটোত 100 টা গুলী পেলোৱা হৈছিল।
