তলত SEBA দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অধ্যায় ৫: সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progression) ৰ সকলো অনুশীলনীৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি এখন ৫০ নম্বৰৰ ধাৰণামূলক (Concept-based) প্ৰশ্নকাকত দিয়া হ’ল।
সমান্তৰ প্ৰগতি Class 10
দশম শ্ৰেণীৰ গণিত (পঞ্চম অধ্যায়)
বিষয়: সমান্তৰ প্ৰগতি
মুঠ নম্বৰ: ৫০
সময়: ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট
ক-শাখা (বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্ন)
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ১)
মুঠ নম্বৰ: ১৫
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ (AP) প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d হ’লে, n-তম পদটো (aₙ) কি হ’ব?
(a) a + (n)d (b) a + (n-1)d (c) a + (n+1)d (d) a – (n-1)d - 2, 7, 12, … সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ কিমান?
(a) 2 (b) 7 (c) 5 (d) -5 - এটা AP ৰ প্ৰথম পদ 10 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ -3 হ’লে, দ্বিতীয় পদটো কি হ’ব?
(a) 13 (b) -13 (c) 7 (d) -7 - 3, 3, 3, 3, … প্ৰগতিটো —
(a) এটা AP হয় (b) এটা AP নহয় (c) এটা গুণোত্তৰ প্ৰগতি (d) এটাও নহয় - -10, -6, -2, 2, … সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 20-তম পদটো কি?
(a) 66 (b) -66 (c) 70 (d) 76 - এটা AP ৰ n-তম পদ aₙ = 3n + 2 হ’লে, ইয়াৰ সাধাৰণ অন্তৰ কিমান?
(a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 1 - এটা AP ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো কি?
(a) Sₙ = n/2 a + (n-1)d Sₙ = n/2 2a + (n-1)d Sₙ = n 2a + (n-1)d Sₙ = n/2 [a + l] (l = শেষ পদ) - 3, 8, 13, …, 253 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ শেষৰ পৰা 20-তম পদটো কি?
(a) 153 (b) 158 (c) 163 (d) 168 - এটা AP ৰ তৃতীয় পদ 5 আৰু সপ্তম পদ 9 হ’লে, সাধাৰণ অন্তৰ কিমান?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 - 1 ৰ পৰা 100 লৈকে সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল কিমান?
(a) 5000 (b) 5050 (c) 5500 (d) 10100 - যদি k+2, 4k-6 আৰু 3k-2 এটা AP ৰ ক্ৰমিক পদ হয়, তেন্তে k ৰ মান কিমান?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 - এটা AP ৰ a=5, d=3 আৰু aₙ=50 হ’লে, n ৰ মান কিমান?
(a) 15 (b) 16 (c) 17 (d) 18 - 6 ৰে বিভাজ্য প্ৰথম 40 টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল কিমান?
(a) 4920 (b) 4860 (c) 5000 (d) 5120 - এটা AP ৰ a₃ = 18 আৰু a₇ = 30 হ’লে, a₁₀ ৰ মান কিমান?
(a) 36 (b) 39 (c) 42 (d) 45 - যদি এটা AP ৰ S₅ = 35 আৰু S₄ = 22 হয়, তেন্তে পঞ্চম পদটো (a₅) কিমান?
(a) 10 (b) 11 (c) 12 (d) 13
খ-শাখা
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ২)
মুঠ নম্বৰ: ২০
- 21, 18, 15, … সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ -81 হ’ব?
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 11-তম পদ 38 আৰু 16-তম পদ 73 হ’লে, 31-তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা।
- 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক কেইটা আছে?
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ 5, শেষ পদ 45 আৰু যোগফল 400 হ’লে, পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
- 8 ৰ প্ৰথম 15 টা গুণিতকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ n-তম পদ aₙ = 9 – 5n হ’লে, ইয়াৰ প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় আৰু নৱম পদ দুটা ক্ৰমে 4 আৰু -8 হ’লে, ইয়াৰ কোনটো পদ শূন্য হ’ব?
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 17-তম পদটো 10-তম পদতকৈ 7 বেছি হ’লে, সাধাৰণ অন্তৰটো নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ চতুৰ্থ আৰু অষ্টম পদৰ যোগফল 24 আৰু ষষ্ঠ আৰু দশম পদৰ যোগফল 44 হ’লে, প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ p-তম পদ q আৰু q-তম পদ p হ’লে, দেখুওৱা যে ইয়াৰ n-তম পদ p+q-n।
গ-শাখা
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৩)
মুঠ নম্বৰ: ১৫
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম 7 টা পদৰ যোগফল 49 আৰু প্ৰথম 17 টা পদৰ যোগফল 289 হ’লে, প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
- এটা টিভি নিৰ্মাতা প্ৰতিষ্ঠানে তৃতীয় বছৰত 600 টা আৰু সপ্তম বছৰত 700 টা টিভি নিৰ্মাণ কৰে। যদি প্ৰতি বছৰে নিৰ্মাণ কৰা টিভিৰ সংখ্যা এটা সমান্তৰ প্ৰগতি অনুসৰি বৃদ্ধি পায়, তেন্তে নিৰ্ণয় কৰা:
(i) প্ৰথম বছৰৰ উৎপাদন
(ii) দশম বছৰৰ উৎপাদন
(iii) প্ৰথম 7 বছৰৰ মুঠ উৎপাদন - এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম আৰু শেষ পদ ক্ৰমে 17 আৰু 350। যদি সাধাৰণ অন্তৰ 9 হয়, তেন্তে পদৰ সংখ্যা কিমান আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?
- এটা আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতাত, আৰম্ভণি বিন্দুত এটা বাল্টি ৰখা হৈছে, যিটো প্ৰথম আলুৰ পৰা 5 মিটাৰ দূৰত আছে। বাকী আলুবোৰ একে ৰেখাত 3 মিটাৰ ব্যৱধানত ৰখা হৈছে। মুঠ 10 টা আলু আছে। প্ৰতিযোগীয়ে বাল্টিৰ পৰা দৌৰি গৈ এটা এটাকৈ আলু আনি বাল্টিত ভৰাব লাগে। প্ৰতিযোগীজনে মুঠ কিমান দূৰত্ব দৌৰিব লাগিব?
- এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল Sₙ = 4n – n² হ’লে, ইয়াৰ প্ৰথম পদ (S₁), প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল (S₂), দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় পদ, দশম পদ আৰু n-তম পদ নিৰ্ণয় কৰা।
প্ৰশ্নকাকতৰ সমাধান
ক-শাখা (বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্ন)
| প্ৰশ্ন নং | উত্তৰ | কাৰণ/ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | (b) a + (n-1)d | এইটো n-তম পদৰ সূত্ৰ। |
| 2 | (c) 5 | d = a₂ – a₁ = 7 – 2 = 5। |
| 3 | (c) 7 | a₂ = a + d = 10 + (-3) = 7। |
| 4 | (a) এটা AP হয় | সাধাৰণ অন্তৰ d = 3 – 3 = 0। |
| 5 | (a) 66 | a₂₀ = a + 19d = -10 + 19(4) = -10 + 76 = 66। |
| 6 | (b) 3 | a₁ = 3(1)+2=5, a₂ = 3(2)+2=8। d = 8-5=3। |
| 7 | (b) Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] | এইটো n টা পদৰ যোগফলৰ মূল সূত্ৰ। (d)ও শুদ্ধ, কিন্তু (b) অধিক মৌলিক। |
| 8 | (b) 158 | শেষৰ পৰা 20-তম পদ = l – (n-1)d = 253 – (20-1)×5 = 253 – 95 = 158। |
| 9 | (a) 1 | a₇ – a₃ = (a+6d) – (a+2d) = 4d। 9 – 5 = 4d ⇒ 4 = 4d ⇒ d=1। |
| 10 | (b) 5050 | S₁₀₀ = 100/2 (1 + 100) = 50 × 101 = 5050। |
| 11 | (c) 3 | (4k-6) – (k+2) = (3k-2) – (4k-6) ⇒ 3k-8 = -k+4 ⇒ 4k=12 ⇒ k=3। |
| 12 | (b) 16 | aₙ = a+(n-1)d ⇒ 50 = 5+(n-1)3 ⇒ 45 = (n-1)3 ⇒ 15 = n-1 ⇒ n=16। |
| 13 | (a) 4920 | AP: 6, 12, …, 240। S₄₀ = 40/2 (6 + 240) = 20 × 246 = 4920। |
| 14 | (b) 39 | a₇ – a₃ = 4d ⇒ 30-18=12=4d ⇒ d=3। a₃=a+2d=18 ⇒ a+6=18 ⇒ a=12। a₁₀ = a+9d = 12+9(3) = 12+27=39। |
| 15 | (d) 13 | a₅ = S₅ – S₄ = 35 – 22 = 13। |
খ-শাখা (২ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন)
16. সমাধান:
AP: 21, 18, 15, …। ইয়াত a=21, d = 18-21 = -3।
ধৰা হ’ল n-তম পদ -81।
aₙ = a + (n-1)d ⇒ -81 = 21 + (n-1)(-3)
⇒ -81 – 21 = -3(n-1) ⇒ -102 = -3(n-1)
⇒ n-1 = 34 ⇒ n = 35।
∴ 35-তম পদটো -81 হ’ব।
17. সমাধান:
a₁₁ = a + 10d = 38 (1)
a₁₆ = a + 15d = 73 (2)
(2) – (1) ⇒ 5d = 35 ⇒ d = 7।
d=7 মান (1) ত বহুৱাই, a + 10(7) = 38 ⇒ a + 70 = 38 ⇒ a = -32।
∴ a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178।
18. সমাধান:
10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: 12, 16, …, 248।
এইটো এটা AP, য’ত a=12, d=4, aₙ=248।
aₙ = a + (n-1)d ⇒ 248 = 12 + (n-1)4
⇒ 236 = (n-1)4 ⇒ n-1 = 59 ⇒ n = 60।
∴ মুঠ 60 টা গুণিতক আছে।
19. সমাধান:
a=5, l=45, Sₙ=400।
Sₙ = n/2 (a+l) ⇒ 400 = n/2 (5+45) = n/2 (50) = 25n।
⇒ n = 400/25 = 16।
aₙ = a + (n-1)d ⇒ 45 = 5 + (16-1)d ⇒ 40 = 15d ⇒ d = 40/15 = 8/3।
∴ পদৰ সংখ্যা 16 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 8/3।
20. সমাধান:
8 ৰ প্ৰথম 15 টা গুণিতক: 8, 16, 24, …, 120।
a=8, n=15, l=120।
S₁₅ = 15/2 (8 + 120) = 15/2 (128) = 15 × 64 = 960।
21. সমাধান:
aₙ = 9 – 5n।
a₁ = 9 – 5(1) = 4।
a₁₅ = 9 – 5(15) = 9 – 75 = -66।
S₁₅ = 15/2 (a₁ + a₁₅) = 15/2 (4 – 66) = 15/2 (-62) = 15 × (-31) = -465।
22. সমাধান:
a₃ = a + 2d = 4 (1)
a₉ = a + 8d = -8 (2)
(2) – (1) ⇒ 6d = -12 ⇒ d = -2।
d=-2 মান (1) ত বহুৱাই, a + 2(-2) = 4 ⇒ a – 4 = 4 ⇒ a = 8।
ধৰা হ’ল n-তম পদ শূন্য।
aₙ = a + (n-1)d = 0 ⇒ 8 + (n-1)(-2) = 0 ⇒ 8 = 2(n-1) ⇒ 4 = n-1 ⇒ n = 5।
∴ 5-তম পদটো শূন্য হ’ব।
23. সমাধান:
প্ৰশ্নমতে, a₁₇ = a₁₀ + 7।
⇒ a + 16d = (a + 9d) + 7
⇒ 16d = 9d + 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = 1।
∴ সাধাৰণ অন্তৰ 1।
24. সমাধান:
a₄ + a₈ = 24 ⇒ (a+3d) + (a+7d) = 24 ⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12 (1)
a₆ + a₁₀ = 44 ⇒ (a+5d) + (a+9d) = 44 ⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22 (2)
(2) – (1) ⇒ 2d = 10 ⇒ d = 5।
d=5 মান (1) ত বহুৱাই, a + 5(5) = 12 ⇒ a + 25 = 12 ⇒ a = -13।
∴ প্ৰথম তিনিটা পদ: -13, (-13+5), (-13+10) ⇒ -13, -8, -3।
25. সমাধান:
aₚ = a + (p-1)d = q (1)
aq = a + (q-1)d = p (2)
(1) – (2) ⇒ (p-1-q+1)d = q-p ⇒ (p-q)d = -(p-q) ⇒ d = -1।
d=-1 মান (1) ত বহুৱাই, a + (p-1)(-1) = q ⇒ a – p + 1 = q ⇒ a = p+q-1।
∴ aₙ = a + (n-1)d = (p+q-1) + (n-1)(-1) = p+q-1 – n+1 = p+q-n। (প্ৰমাণিত)
গ-শাখা (৩ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন)
26. সমাধান:
S₇ = 7/2 (2a + 6d) = 49 ⇒ 7(a+3d) = 49 ⇒ a+3d = 7 (1)
S₁₇ = 17/2 (2a + 16d) = 289 ⇒ 17(a+8d) = 289 ⇒ a+8d = 17 (2)
(2) – (1) ⇒ 5d = 10 ⇒ d = 2।
d=2 মান (1) ত বহুৱাই, a + 3(2) = 7 ⇒ a+6=7 ⇒ a = 1।
∴ Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] = n/2 [2(1) + (n-1)2] = n/2 [2 + 2n – 2] = n/2 [2n] = n²।
27. সমাধান:
a₃ = a + 2d = 600 (1)
a₇ = a + 6d = 700 (2)
(2) – (1) ⇒ 4d = 100 ⇒ d = 25।
d=25 মান (1) ত বহুৱাই, a + 2(25) = 600 ⇒ a + 50 = 600 ⇒ a = 550।
(i) প্ৰথম বছৰৰ উৎপাদন (a) = 550 টা।
(ii) দশম বছৰৰ উৎপাদন (a₁₀) = a + 9d = 550 + 9(25) = 550 + 225 = 775 টা।
(iii) প্ৰথম 7 বছৰৰ মুঠ উৎপাদন (S₇) = 7/2 (2a + 6d) = 7/2 (2×550 + 6×25) = 7/2 (1100 + 150) = 7/2 (1250) = 7 × 625 = 4375 টা।
28. সমাধান:
a=17, l=350, d=9।
l = a + (n-1)d ⇒ 350 = 17 + (n-1)9
⇒ 333 = (n-1)9 ⇒ n-1 = 37 ⇒ n = 38।
Sₙ = n/2 (a+l) = 38/2 (17+350) = 19 × 367 = 6973।
∴ পদৰ সংখ্যা 38 আৰু যোগফল 6973।
29. সমাধান:
প্ৰথম আলু আনিবলৈ দৌৰিবলগীয়া দূৰত্ব = 2 × 5 = 10 মি.।
দ্বিতীয় আলু আনিবলৈ = 2 × (5+3) = 16 মি.।
তৃতীয় আলু আনিবলৈ = 2 × (5+3+3) = 22 মি.।
এইটো এটা AP: 10, 16, 22, … (10 টা পদলৈ)।
a=10, d=6, n=10।
S₁₀ = 10/2 [2(10) + (10-1)6] = 5 [20 + 54] = 5 × 74 = 370।
∴ মুঠ 370 মিটাৰ দৌৰিব লাগিব।
30. সমাধান:
Sₙ = 4n – n²।
(i) প্ৰথম পদ (a₁) = S₁ = 4(1) – 1² = 3।
(ii) প্ৰথম দুটা পদৰ যোগফল (S₂) = 4(2) – 2² = 8 – 4 = 4।
(iii) দ্বিতীয় পদ (a₂) = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1।
(iv) তৃতীয় পদ (a₃) = S₃ – S₂ = (4(3)-3²) – 4 = (12-9) – 4 = 3 – 4 = -1।
(v) n-তম পদ (aₙ) = Sₙ – Sₙ₋₁ = (4n-n²) – [4(n-1) – (n-1)²]
= 4n-n² – [4n-4 – (n²-2n+1)] = 4n-n² – [4n-4-n²+2n-1]
= 4n-n² – [6n-n²-5] = 4n-n²-6n+n²+5 = 5 – 2n।
(vi) দশম পদ (a₁₀) = 5 – 2(10) = 5 – 20 = -15।