সমান্তৰ প্ৰগতি – দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫ সকলো অনুশীলনী

সমান্তৰ প্ৰগতি – দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫ সকলো অনুশীলনী Class 10 Maths Chapter 2 Assamese medium

দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫ সমাধান সমান্তৰ প্ৰগতি

সমান্তৰ প্ৰগতি অনুশীলনী: 5.1

1. তলৰ পৰিস্থিতি বিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যা তালিকা বিলাক কোনবিলাকে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰিব?

(i)  প্ৰথম কিলোমিটাৰ টেক্সিভাড়া ১৫ টকা আৰু পিছৰ প্ৰতিটো অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত ৮ টকাকৈ হলে প্ৰতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সি ভাড়া

সমাধান: আমি প্ৰদত্ত চৰ্তটো এনেদৰে লিখিব পাৰোঁ;

1 কিমিৰ বাবে টেক্সি ভাড়া = 15

প্ৰথম 2 কিমিৰ বাবে টেক্সি ভাড়া = 15+8 = 23

প্ৰথম 3 কিমিৰ বাবে টেক্সি ভাড়া = 23+8 = 31

প্ৰথম 4 কিমিৰ বাবে টেক্সি ভাড়া = 31+8 = 39

এনেদৰে, 15, 23, 31, 39 … এটা সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰিব কিয়নো ইয়াৰ প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী সংখ্যা পূৰ্বৱৰ্তী সংখ্যাকৈ 8 অধিক। ইয়াৰ সাধাৰণ অন্তৰ 8

(ii) এটা গেছ ছিলিণ্ডাৰ পৰা ভেকুৱাম পাম এটাই এবাৰত ছিলেণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ 1/4 অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই ছিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ু পৰিমাণ।

সমাধান: ধৰা হল,

চিলিণ্ডাৰ এটাত বায়ুৰ পৰিমাণ, আৰম্ভণিতে, V লিটাৰ।

প্ৰতিটো ষ্ট্ৰোকত, ভেকুৱাম পাম্পে চিলিণ্ডাৰত বাকী থকা বায়ুৰ ¼ ভাগ আঁতৰ কৰে। বা আমি ক’ব পাৰোঁ, প্ৰতিটো ষ্ট্ৰোকৰ পিছত, 1- ¼ = ¾  অংশ বায়ুৰ থাকিব

সেয়েহে, ভলিউমবোৰ হ’ব V, 3V/4, (3V/4)², (3V/4)³… ইত্যাদি

যিহেতু, এই অনুক্ৰমটোৰ সংখ্যা সমূৰ সাধাৰণ অন্তৰ একে নহয়। গতিকে ওপৰৰ পৰিস্থিতিয়ে এটা সমান্ত প্ৰগতি গঠন নকৰে।

(iii) এটা কুঁৱা খান্দোতে প্ৰথম মিটাৰৰ খৰছ 150 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিমিটাৰত 50 টকাকৈ লাগিলে প্ৰতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ।

সমাধান: আমি প্ৰদত্ত চৰ্তটো এনেদৰে লিখিব পাৰোঁ;

প্ৰথম মিটাৰ বাবে কুঁৱা খননৰ ব্যয় = 150 টকা

প্ৰথম 2 মিটাৰ ৰ বাবে কুঁৱা খননৰ ব্যয় = 150+50 টকা = 200 টকা

প্ৰথম 3 মিটাৰ ৰ বাবে কুঁৱা খননৰ ব্যয় = 200+50 টকা = 250 টকা

প্ৰথম 4 মিটাৰ ৰ বাবে কুঁৱা খননৰ ব্যয় =250+50 টকা = 300 টকা

স্পষ্টকৈ, 150, 200, 250, 300 … প্ৰতিটো সংখ্যাৰ মাজত সাধাৰণ পাৰ্থক্যৰ  50। গতিকে ওপৰৰ পৰিস্থিতিয়ে এটা সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

(iv) 10000 প্ৰতি বছৰে 8% একাউণ্টত ধনৰ পৰিমাণ, যেতিয়া  টকা চক্ৰবৃদ্ধি সূতত প্ৰতি বছৰে হাৰত জমা কৰা হয়।

(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্ৰ সুতৰ হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউন্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ।

সমাধান: আমি জানো যে যদি বছৰি R% চক্ৰবৃদ্ধি সূতত টকা জমা কৰা হয়, তেন্তে ধনৰ পৰিমাণ হ’ব: P(1+r/100)ⁿ

সেয়েহে, প্ৰতি বছৰৰ পিছত, ধনৰ পৰিমাণ হ’ব;

10000(1+8/100), 10000(1+8/100)², 10000(1+8/100)³……

স্পষ্টকৈ, এই অনুক্ৰমটোৰ সংখ্যা সমূৰ সাধাৰণ অন্তৰ একে নহয়। গতিকে ওপৰৰ পৰিস্থিতিয়ে এটা সমান্ত প্ৰগতি গঠন নকৰে।

2. যদি প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্ৰতিটো AP ৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা।

(i) a = 10, d = 10

সমাধান: ধৰা হল, সমান্ত প্ৰগতিটো –  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …

ইয়াত,  a = 10, d = 10

a₁ = a = 10

a₂ = a₁+d = 10+10 = 20

a₃ = a₂+d = 20+10 = 30

a₄ = a₃+d = 30+10 = 40

a₅ = a₄+d = 40+10 = 50

সেয়েহে, সমান্ত প্ৰগতিটো  হ’ব –10, 20, 30, 40, 50…

আৰু ইয়াৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ব 10, 20, 30 আৰু 40।

(ii) a = -2, d = 0

সমাধান: ধৰা হল, সমান্ত প্ৰগতিটো –  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …

ইয়াত, a = – 2, d = 0

a₁ = a = -2

a₂ = a₁+d = – 2+0 = – 2

a₃ = a₂+d = – 2+0 = – 2

a₄ = a₃+d = – 2+0 = – 2

সেয়েহে, সমান্ত প্ৰগতিটো  হ’ব — – 2, – 2, – 2, – 2 …

আৰু ইয়াৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ব – 2, – 2, – 2 and – 2.।

(iii) a = 4, d = – 3

সমাধান: ধৰা হল, সমান্ত প্ৰগতিটো –  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …

ইয়াত, a = 4, d = – 3

a₁ = a = 4

a₂ = a₁+d = 4-3 = 1

a₃ = a₂+d = 1-3 = – 2

a₄ = a₃+d = -2-3 = – 5

সেয়েহে, সমান্ত প্ৰগতিটো  হ’ব — 4, 1, – 2 – 5 …

আৰু ইয়াৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ব 4, 1, – 2 and – 5…।

(iv) a = -1 d = 1/2

সমাধান: ধৰা হল, সমান্ত প্ৰগতিটো –  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …

ইয়াত, a = – 1, d = 1/2

a₂ = a₁+d = -1+1/2 = -1/2

a₃ = a₂+d = -1/2+1/2 = 0

a₄ = a₃+d = 0+1/2 = 1/2

সেয়েহে, সমান্ত প্ৰগতিটো  হ’ব — 1, -1/2, 0, 1/2

আৰু ইয়াৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ব  -1, -1/2, 0 and 1/2.

(v) a = – 1.25, d = – 0.25

সমাধান: ধৰা হল, সমান্ত প্ৰগতিটো –  a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …

ইয়াত, a = – 1.25, d = – 0.25

a₁ = a = – 1.25

a₂ = a₁ + d = – 1.25-0.25 = – 1.50

a₃ = a₂ + d = – 1.50-0.25 = – 1.75

a₄ = a₃ + d = – 1.75-0.25 = – 2.00

সেয়েহে, সমান্ত প্ৰগতিটো  হ’ব — 1.25, – 1.50, – 1.75, – 2.00 ……..

আৰু ইয়াৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ব – 1.25, – 1.50, – 1.75 and – 2.00.

দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫

3. তলত দিয়া সমান্ত প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা

(i) 3, 1, – 1, – 3 …

সমাধান:

প্ৰথম পদ, a = 3

সাধাৰণ অন্তৰ d = দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ

⇒  1 – 3 = -2

⇒  d = -2

(ii) -5, – 1, 3, 7 …

সমাধান:

প্ৰথম পদ, a = -5

সাধাৰণ অন্তৰ d = দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ

⇒ ( – 1)-( – 5) = – 1+5 = 4

(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3 ….

সমাধান:

প্ৰথম পদ, a = 1/3

সাধাৰণ অন্তৰ d = দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ

⇒ ( – 1)-( – 5) = – 1+5 = 4

⇒ 5/3 – 1/3 = 4/3

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …

সমাধান:

প্ৰথম পদ, a =0.6

সাধাৰণ অন্তৰ d = দ্বিতীয় পদ – প্ৰথম পদ

⇒ 1.7 – 0.6

⇒ 1.1

দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫

4. তলৰ কোনবোৰ সমান্ত প্ৰগতিত আছে? যিবিলাকে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰৱৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা।

(i) 2, 4, 8, 16 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2

a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4

a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2 ….

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 5/2-2 = 1/2

a₃ – a₂ = 3-5/2 = 1/2

a₄ – a₃ = 7/2-3 = 1/2

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = 7/2+1/2 = 4

a₆ = 4 +1/2 = 9/2

a₇ = 9/2 +1/2 = 5

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = (-3.2)-(-1.2) = -2

a₃ – a₂ = (-5.2)-(-3.2) = -2

a₄ – a₃ = (-7.2)-(-5.2) = -2

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = – 7.2-2 = -9.2

a₆ = – 9.2-2 = – 11.2

a₇ = – 11.2-2 = – 13.2

(iv) -10, – 6, – 2, 2 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = (-6)-(-10) = 4

a₃ – a₂ = (-2)-(-6) = 4

a₄ – a₃ = (2 -(-2) = 4

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = 2+4 = 6

a₆ = 6+4 = 10

a₇ = 10+4 = 14

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 3+√2-3 = √2

a₃ – a₂ = (3+2√2)-(3+√2) = √2

a₄ – a₃ = (3+3√2) – (3+2√2) = √2

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = (3+√2) +√2 = 3+4√2

a₆ = (3+4√2)+√2 = 3+5√2

a₇ = (3+5√2)+√2 = 3+6√2

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ….

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 0.22-0.2 = 0.02

a₃ – a₂ = 0.222-0.22 = 0.002

a₄ – a₃ = 0.2222-0.222 = 0.0002

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(vii) 0, – 4, – 8, – 12 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = (-4)-0 = -4

a₃ – a₂ = (-8)-(-4) = -4

a₄ – a₃ = (-12)-(-8) = -4

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = -12-4 = -16

a₆ = -16-4 = -20

a₇ = -20-4 = -24

(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2 ….

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = (-1/2) – (-1/2) = 0

a₃ – a₂ = (-1/2) – (-1/2) = 0

a₄ – a₃ = (-1/2) – (-1/2) = 0

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = (-1/2)-0 = -1/2

a₆ = (-1/2)-0 = -1/2

a₇ = (-1/2)-0 = -1/2

(ix) 1, 3, 9, 27 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 3-1 = 2

a₃ – a₂ = 9-3 = 6

a₄ – a₃ = 27-9 = 18

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(x) a, 2a, 3a, 4a …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = 2a–a = a

a₃ – a₂ = 3a-2a = a

a₄ – a₃ = 4a-3a = a

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = 4a+a = 5a

a₆ = 5a+a = 6a

a₇ = 6a+a = 7a

(xi) a, a², a³, a⁴ …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = a²–a = a(a-1)

a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a-1)

a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a-1)

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(xii) √2, √8, √18, √32 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = √8-√2  = 2√2-√2 = √2

a₃ – a₂ = √18-√8 = 3√2-2√2 = √2

a₄ – a₃ = 4√2-3√2 = √2

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = √32+√2 = 4√2+√2 = 5√2 = √50

a₆ = 5√2+√2 = 6√2 = √72

a₇ = 6√2+√2 = 7√2 = √98

(xiii) √3, √6, √9, √12 …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ – a₁ = √6-√3 = √3×√2-√3 = √3(√2-1)

a₃ – a₂ = √9-√6 = 3-√6 = √3(√3-√2)

a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – √3×√3 = √3(2-√3)

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(xiv) 1², 3², 5², 7² …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ − a₁ = 9−1 = 8

a₃ − a₂ = 25−9 = 16

a₄ − a₃ = 49−25 = 24

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে নহয়।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰা নাই।

(xv) 1², 5², 7², 7³ …

সমাধান:

ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ =  a_n+1 – a_n

a₂ − a₁ = 25−1 = 24

a₃ − a₂ = 49−25 = 24

a₄ − a₃ = 73−49 = 24

যিহেতু,  ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ প্ৰতিবাৰেই একে ।

সেয়েহে, প্ৰদত্ত শৃংখলাটোৱে সমান্ত প্ৰগতি গঠন কৰে।

পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে;

a₅ = 73+24 = 97

a₆ = 97+24 = 121

a₇ = 121+24 = 145

Also Read: দ্বিঘাত সমীকৰণ

সমান্তৰ প্ৰগতি দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ৫