SEBA দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অধ্যায় ৪: দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equations) ৰ সকলো অনুশীলনীৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি এখন ৫০ নম্বৰৰ ধাৰণামূলক (Concept-based) প্ৰশ্নকাকত দিয়া হ’ল।
দ্বিঘাত সমীকৰণ SEBA Class 10
দশম শ্ৰেণীৰ গণিত (চতুৰ্থ অধ্যায়)
বিষয়: দ্বিঘাত সমীকৰণ
মুঠ নম্বৰ: ৫০
সময়: ১ ঘণ্টা ৩০ মিনিট
ক-শাখা (বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্ন) (প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ১)
মুঠ নম্বৰ: ১৫
- তলৰ কোনটো দ্বিঘাত সমীকৰণ?
(a) x(x+1) + 8 = (x+2)(x-2)
(b) x³ – x² = (x-1)³
(c) (x+2)³ = 2x(x²-1)
(d) x² + 3x + 1 = (x-2)² - kx² – 4x + 4 = 0 সমীকৰণটোৰ মূল দুটা সমান হ’লে, k ৰ মান কিমান?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4 - x² – 5x + 6 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল দুটা হ’ল—
(a) 2, 3
(b) -2, -3
(c) 2, -3
(d) -2, 3 - ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ ভেদ নিৰূপক (discriminant) D ৰ মান কি?
(a) b² + 4ac
(b) b² – 4ac
(c) 4ac – b²
(d) -b² – 4ac - x² + 4 = 0 সমীকৰণটোৰ মূলৰ প্ৰকৃতি কেনেকুৱা?
(a) দুটা ভিন্ন বাস্তৱ মূল
(b) দুটা সমান বাস্তৱ মূল
(c) কোনো বাস্তৱ মূল নাই
(d) এটা বাস্তৱ মূল - এটা সংখ্যা আৰু তাৰ বৰ্গৰ যোগফল 20 হ’লে, সংখ্যাটো কি হ’ব পাৰে?
(a) 5
(b) 10
(c) 4
(d) 3 - 2x² – √5x + 1 = 0 সমীকৰণটোৰ মূলৰ প্ৰকৃতি কেনেকুৱা?
(a) বাস্তৱ আৰু সমান
(b) বাস্তৱ আৰু ভিন্ন
(c) কোনো বাস্তৱ মূল নাই
(d) ক’ব নোৱাৰি - x² – 9 = 0 সমীকৰণটোৰ মূল দুটা কি কি?
(a) 3, 3
(b) -3, -3
(c) 3, -3
(d) 9, -9 - এটা দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূল দুটা 1 আৰু -2 হ’লে, সমীকৰণটো হ’ব—
(a) x² – x – 2 = 0
(b) x² + x – 2 = 0
(c) x² – x + 2 = 0
(d) x² + x + 2 = 0 - যদি দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ভেদ নিৰূপক D > 0 হয়, তেন্তে মূল দুটা —
(a) বাস্তৱ আৰু সমান
(b) বাস্তৱ আৰু ভিন্ন
(c) কাল্পনিক
(d) কোনো মূল নাই - এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কৰ্ণ 13 cm আৰু এটা বাহু 5 cm হ’লে, আনটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
(a) 8 cm
(b) 10 cm
(c) 12 cm
(d) 14 cm - x(x+1) = 0 সমীকৰণটোৰ মূল দুটা কি কি?
(a) 0, 1
(b) 1, -1
(c) 0, -1
(d) 1, 1 - ax² + bx + c = 0 সমীকৰণৰ মূল দুটা সমান হ’লে, c ৰ মান কিমান?
(a) -b/2a
(b) b/2a
(c) -b²/4a
(d) b²/4a - দুটা ক্ৰমিক ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365। সংখ্যা দুটা কি কি?
(a) 10, 11
(b) 11, 12
(c) 12, 13
(d) 13, 14 - 2x² + kx + 3 = 0 সমীকৰণটোৰ দুটা সমান মূল থাকিলে k ৰ মান কিমান?
(a) ±√24
(b) ±√12
(c) ±4
(d) ±6
খ-শাখা
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ২)
মুঠ নম্বৰ: ২০
- উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা: √2x² + 7x + 5√2 = 0।
- k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে 2x² + kx + 3 = 0 সমীকৰণটোৰ দুটা মূল সমান হয়।
- এনে দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ যোগফল 27 আৰু পূৰণফল 182।
- এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা তাৰ ভূমিଠାରୁ 7 cm কম। যদি কৰ্ণটো 13 cm হয়, তেন্তে আন দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
- দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি সমাধান কৰা: 2x² – 7x + 3 = 0।
- মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা: 3x² – 4√3x + 4 = 0। যদি মূলবোৰ বাস্তৱ, তেন্তে সিহঁতক নিৰ্ণয় কৰা।
- এখন ৰেলগাড়ীয়ে 360 km দূৰত্ব একে গতিত অতিক্ৰম কৰে। যদি গাড়ীখনৰ গতি 5 km/h বেছি হ’লহেঁতেন, তেন্তে যাত্ৰাটোত 1 ঘণ্টা সময় কম লাগিলহেঁতেন। ৰেলগাড়ীখনৰ গতি নিৰ্ণয় কৰা।
- দুটা বৰ্গৰ কালিৰ সমষ্টি 468 m²। যদি সিহঁতৰ পৰিসীমাৰ পাৰ্থক্য 24 m হয়, তেন্তে বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
- বৰ্গ সম্পূৰ্ণ কৰি সমাধান কৰা: 2x² + x – 4 = 0।
- এটা আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণ তাৰ সৰু বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ দীঘল। যদি ডাঙৰ বাহুটো সৰু বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ দীঘল হয়, তেন্তে পথাৰখনৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
গ-শাখা
(প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ মান ৩)
মুঠ নম্বৰ: ১৫
- এখন যাত্ৰীবাহী ৰেলগাড়ীৰ দ্ৰুতি এখন এক্সপ্ৰেছ ৰেলগাড়ীতকৈ 11 km/h কম। 132 km দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ এক্সপ্ৰেছ ৰেলগাড়ীখনে যাত্ৰীবাহী ৰেলগাড়ীখনতকৈ 1 ঘণ্টা সময় কম লয়। দুয়োখন ৰেলগাড়ীৰ গড় দ্ৰুতি নিৰ্ণয় কৰা।
- দুটা পানীৰ নলীয়ে একেলগে এটা চৌবাচ্চা 9 ⅜ ঘণ্টাত পূৰ্ণ কৰিব পাৰে। ডাঙৰ ব্যাসৰ নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো অকলে পূৰ্ণ কৰিবলৈ সৰু ব্যাসৰ নলীটোতকৈ 10 ঘণ্টা সময় কম লয়। প্ৰতিটো নলীয়ে পৃথকভাৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ্ণ কৰিবলৈ কিমান সময় ল’ব?
- k ৰ এনে মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে kx(x-2) + 6 = 0 সমীকৰণটোৰ দুটা সমান মূল থাকে।
- এটা শ্ৰেণী পৰীক্ষাত, এজন ছাত্ৰই গণিত আৰু ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰৰ যোগফল 30। যদি তেওঁ গণিতত 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত 3 নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, তেন্তে নম্বৰ দুটাৰ পূৰণফল 210 হ’লহেঁতেন। দুয়োটা বিষয়ত তেওঁ পোৱা নম্বৰ নিৰ্ণয় কৰা।
- দেখুওৱা যে (x² + 1)² – x² = 0 সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
নিশ্চয়, মই ওপৰৰ “অধ্যায় ৪: দ্বিঘাত সমীকৰণ” প্ৰশ্নকাকতখনৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সমাধান তলত দাঙি ধৰিলোঁ।
প্ৰশ্নকাকতৰ সমাধান
ক-শাখা (বস্তুনিষ্ঠ প্ৰশ্ন)
| প্ৰশ্ন নং | উত্তৰ | কাৰণ/ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | (d) x² + 3x + 1 = (x-2)² | ইয়াত x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 ⇒ 7x – 3 = 0, যিটো দ্বিঘাত নহয়। আনহাতে, (b) ত x³ কটা নাযায়। (a) ত x² কটা যায়। (d) ত x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 ⇒ 7x – 3 = 0। ইয়াত এটা ভুল হৈছে, শুদ্ধ উত্তৰ হ’ব (b) x³ – x² = (x-1)³ কাৰণ x³ – x² = x³ – 3x² + 3x – 1 ⇒ 2x² – 3x + 1 = 0। |
| 2 | (a) 1 | মূল সমান হ’লে, D = b²-4ac = 0। (-4)² – 4(k)(4) = 0 ⇒ 16 – 16k = 0 ⇒ k=1। |
| 3 | (a) 2, 3 | x² – 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0। |
| 4 | (b) b² – 4ac | এইটো ভেদ নিৰূপকৰ সূত্ৰ। |
| 5 | (c) কোনো বাস্তৱ মূল নাই | D = 0² – 4(1)(4) = -16 < 0। |
| 6 | (c) 4 | সংখ্যাটো x হ’লে, x + x² = 20। x=4 হ’লে, 4 + 4² = 4 + 16 = 20। |
| 7 | (c) কোনো বাস্তৱ মূল নাই | D = (-√5)² – 4(2)(1) = 5 – 8 = -3 < 0। |
| 8 | (c) 3, -3 | x² = 9 ⇒ x = ±√9 = ±3। |
| 9 | (b) x² + x – 2 = 0 | মূলৰ যোগফল = 1+(-2) = -1। পূৰণফল = 1×(-2) = -2। সমীকৰণ: x² – (যোগফল)x + পূৰণফল = 0 ⇒ x² – (-1)x + (-2) = 0। |
| 10 | (b) বাস্তৱ আৰু ভিন্ন | এইটো মূলৰ প্ৰকৃতিৰ চৰ্ত। |
| 11 | (c) 12 cm | পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ: 5² + x² = 13² ⇒ 25 + x² = 169 ⇒ x² = 144 ⇒ x=12। |
| 12 | (c) 0, -1 | x=0 বা x+1=0 ⇒ x=-1। |
| 13 | (d) b²/4a | মূল সমান হ’লে, D=0 ⇒ b²-4ac=0 ⇒ 4ac=b² ⇒ c = b²/4a। |
| 14 | (d) 13, 14 | 13² + 14² = 169 + 196 = 365। |
| 15 | (a) ±√24 | D = k² – 4(2)(3) = 0 ⇒ k² – 24 = 0 ⇒ k = ±√24। |
খ-শাখা (২ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন)
16. সমাধান:
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 2x + 5x + 5√2 = 0
⇒ √2x(x + √2) + 5(x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
∴ x = -5/√2 বা x = -√2।
17. সমাধান:
মূল দুটা সমান হোৱাৰ চৰ্ত D = b² – 4ac = 0।
ইয়াত a=2, b=k, c=3।
⇒ k² – 4(2)(3) = 0
⇒ k² – 24 = 0
⇒ k² = 24
⇒ k = ±√24 = ±2√6।
18. সমাধান:
ধৰা হ’ল সংখ্যা দুটা x আৰু y।
x + y = 27 (1)
xy = 182 (2)
(1) ৰ পৰা y = 27 – x। এই মান (2) ত বহুৱাই পাওঁ,
x(27 – x) = 182
⇒ 27x – x² = 182
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ (x – 13)(x – 14) = 0
∴ x = 13 বা x = 14।
যদি x=13, y=14। যদি x=14, y=13। সংখ্যা দুটা 13 আৰু 14।
19. সমাধান:
ধৰা হ’ল ভূমি = x cm, তেন্তে উচ্চতা = (x-7) cm।
পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ মতে, x² + (x-7)² = 13²
⇒ x² + x² – 14x + 49 = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
যিহেতু দৈৰ্ঘ্য ঋণাত্মক নহয়, x = 12।
ভূমি = 12 cm, উচ্চতা = 12-7 = 5 cm।
20. সমাধান:
2x² – 7x + 3 = 0। ইয়াত a=2, b=-7, c=3।
x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a
x = [7 ± √((-7)² – 4(2)(3))] / 2(2)
x = [7 ± √(49 – 24)] / 4
x = [7 ± √25] / 4 = (7 ± 5) / 4
∴ x = (7+5)/4 = 3 বা x = (7-5)/4 = 1/2।
21. সমাধান:
3x² – 4√3x + 4 = 0।
D = (-4√3)² – 4(3)(4) = (16×3) – 48 = 48 – 48 = 0।
যিহেতু D=0, মূল দুটা বাস্তৱ আৰু সমান।
মূল = -b/2a = -(-4√3) / 2(3) = 4√3 / 6 = 2√3 / 3।
22. সমাধান:
ধৰা হ’ল ৰেলৰ গতি x km/h।
প্ৰশ্নমতে, 360/x – 360/(x+5) = 1
⇒ 360(x+5 – x) / x(x+5) = 1
⇒ 360 × 5 = x² + 5x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ (x+45)(x-40) = 0
গতি ঋণাত্মক নহয়, গতিকে x = 40। ৰেলৰ গতি 40 km/h।
23. সমাধান:
ধৰা হ’ল বৰ্গ দুটাৰ বাহু x আৰু y।
x² + y² = 468 (1)
4x – 4y = 24 ⇒ x – y = 6 ⇒ x = y+6 (2)
(2) ৰ মান (1) ত বহুৱাই, (y+6)² + y² = 468
⇒ y² + 12y + 36 + y² = 468
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
⇒ (y+18)(y-12) = 0
y ঋণাত্মক নহয়, গতিকে y = 12। x = 12+6 = 18।
বাহু দুটা 18 m আৰু 12 m।
24. সমাধান:
2x² + x – 4 = 0 ⇒ x² + (1/2)x – 2 = 0
⇒ x² + 2(x)(1/4) + (1/4)² = 2 + (1/4)²
⇒ (x + 1/4)² = 2 + 1/16 = 33/16
⇒ x + 1/4 = ±√33 / 4
⇒ x = -1/4 ± √33 / 4 = (-1 ± √33) / 4।
25. সমাধান:
ধৰা হ’ল সৰু বাহু = x m। তেন্তে ডাঙৰ বাহু = (x+30) m আৰু কৰ্ণ = (x+60) m।
x² + (x+30)² = (x+60)²
⇒ x² + x² + 60x + 900 = x² + 120x + 3600
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ (x-90)(x+30) = 0
x ঋণাত্মক নহয়, গতিকে x = 90।
সৰু বাহু = 90 m, ডাঙৰ বাহু = 120 m।
গ-শাখা (৩ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন)
26. সমাধান:
ধৰা হ’ল যাত্ৰীবাহী ৰেলৰ গতি x km/h, তেন্তে এক্সপ্ৰেছ ৰেলৰ গতি (x+11) km/h।
132/x – 132/(x+11) = 1
⇒ 132(x+11 – x) / x(x+11) = 1
⇒ 132 × 11 = x² + 11x
⇒ x² + 11x – 1452 = 0
⇒ (x+44)(x-33) = 0
গতি ঋণাত্মক নহয়, গতিকে x = 33।
যাত্ৰীবাহী ৰেলৰ গতি = 33 km/h, এক্সপ্ৰেছ ৰেলৰ গতি = 33+11 = 44 km/h।
27. সমাধান:
ধৰা হ’ল সৰু নলীটোৱে x ঘণ্টাত চৌবাচ্চাটো পূৰ্ণ কৰে, তেন্তে ডাঙৰটোৱে (x-10) ঘণ্টাত কৰে।
1/x + 1/(x-10) = 1 / (75/8) = 8/75
⇒ (x-10+x) / x(x-10) = 8/75
⇒ 75(2x-10) = 8(x²-10x)
⇒ 150x – 750 = 8x² – 80x
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
⇒ 4x² – 115x + 375 = 0
সমাধান কৰিলে x = 25 বা x = 3.75। x=3.75 হ’লে x-10 ঋণাত্মক হয়, যিটো অসম্ভৱ।
গতিকে x = 25।
সৰু নলীটোৱে 25 ঘণ্টা আৰু ডাঙৰ নলীটোৱে 15 ঘণ্টা সময় ল’ব।
28. সমাধান:
kx(x-2) + 6 = 0 ⇒ kx² – 2kx + 6 = 0।
মূল সমান হ’লে, D = 0।
(-2k)² – 4(k)(6) = 0
⇒ 4k² – 24k = 0
⇒ 4k(k – 6) = 0
k=0 হ’লে সমীকৰণটো দ্বিঘাত নহয়। গতিকে k = 6।
29. সমাধান:
ধৰা হ’ল গণিতত পোৱা নম্বৰ x, তেন্তে ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ (30-x)।
প্ৰশ্নমতে, (x+2)(30-x-3) = 210
⇒ (x+2)(27-x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 – 2x = 210
⇒ -x² + 25x + 54 – 210 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
⇒ (x-12)(x-13) = 0
x = 12 বা x = 13।
যদি গণিতত 12 পায়, ইংৰাজীত 18। যদি গণিতত 13 পায়, ইংৰাজীত 17।
30. সমাধান:
(x² + 1)² – x² = 0
⇒ x⁴ + 2x² + 1 – x² = 0
⇒ x⁴ + x² + 1 = 0
ধৰা হ’ল y = x²। তেতিয়া y² + y + 1 = 0।
এই দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ভেদ নিৰূপক D = 1² – 4(1)(1) = -3 < 0।
গতিকে y ৰ কোনো বাস্তৱ মান নাই।
যিহেতু y = x² ≥ 0, আৰু y ৰ কোনো বাস্তৱ মান নাই, গতিকে x ৰো কোনো বাস্তৱ মান নাই।
∴ সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
