| বহুপদ Class IX | |
| বিষয় | গণিত |
| পাঠৰ নাম | বহুপদ |
| অনুশীলন | 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 |
| শ্ৰেণী | নৱম |
| পাঠৰ নং | অধ্যায় ২ |
| পাঠ্যক্ৰম | ছেবা |
বহুপদ class 9 অনুশীলনী 2.1
প্রশ্নঃ1. তলৰ কোনবোৰ ৰাশি এটা চলক যুক্ত বহুপদ আৰু কোনবোৰ নহয়? তোমাৰ উত্তৰৰ কাৰণবোৰ উল্লেখ কৰক।
(i) 4x2 – 3x + 7
(ii) y2 + √2
(iii) 3√t + t√2
(iv) y + 2/y
(v) x10 + y3 + t50
উত্তৰ: যদি ৰাশি এটাৰ চলকৰ ঘাতটো যদি পূৰ্ণ সংখ্যা হয় তেন্তে ৰাশিটো বহুপদ
(i) 4x2 – 3x + 7
⇒ বহুপদ ৰাশি । যিহেত ইয়াত চলকৰ ঘাতটো (2) এটা পূৰ্ণ সংখ্যা
(ii) y2 + √2
⇒ বহুপদ ৰাশি । যিহেতু ইয়াত চলকৰ ঘাতটো (2) এটা পূৰ্ণ সংখ্যা
(iii) 3√t + t√2
⇒ বহুপদ ৰাশি নহয়। যিহেতু ইয়াত চলকৰ ঘাতটো (½) এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়
(iv) y + 2/y
⇒ বহুপদ ৰাশি নহয়। যিহেতু ইয়াত চলকৰ ঘাতটো (-1) এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়
(v) x10 + y3 + t50
⇒ বহুপদ ৰাশি । যিহেতু ইয়াত চলকৰ ঘাত (10,3, 50) এটা পূৰ্ণ সংখ্যা
প্রশ্নঃ2 তলত দিয়াবােৰৰ x2 ৰ সহগ লিখা—
(i) 2 + x2 + x
(ii) 2 – x2 + x3
(ii) 2 – x2 + x3
(iv) √2x – 1
উত্তৰ: (i) x2 ৰ সহগ = 1
(ii) x2 ৰ সহগ = 1
(iii) x2 ৰ সহগ = π/2
(iii) x2 ৰ সহগ = 0
প্রশ্নঃ3 এটা 35 মাত্রাৰ দ্বিপদ আৰু 100 মাত্ৰাৰ এটা একপদ লিখা।
উত্তৰ: 3x35+7 আৰু 4x100
প্রশ্ন : 1. নিম্নলিখিত প্ৰতিটো বহুপদৰ মাত্ৰা লিখা—
(i) 5x3 + 4x2 + 7x
⇒ প্ৰদত্ত বহুপদত সৰ্বাধিক ঘাত হৈছে 3। সেয়েহে, বহুপদটো মাত্ৰা হৈছে 3।
(ii) 4 – y2
⇒ প্ৰদত্ত বহুপদত সৰ্বাধিক ঘাত হৈছে 2। সেয়েহে, বহুপদটো মাত্ৰা হৈছে 2।
(iii) 5t – √7
⇒ প্ৰদত্ত বহুপদত সৰ্বাধিক ঘাত হৈছে 1। সেয়েহে, বহুপদটো মাত্ৰা হৈছে 1।
(iv) 3
⇒ প্ৰদত্ত বহুপদত সৰ্বাধিক ঘাত হৈছে 0। সেয়েহে, বহুপদটো মাত্ৰা হৈছে 0।
বহুপদ class 9 অনুশীলনী 2.2
5x + 4x2 + 3 বহুপদটোৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যেতিয়া-
(i) x = 0 (ii) x = – 1 (iii) x = 2
উত্তৰ:
(i) x = 0
p(x) = 5x + 4x2 + 3
⇒ p(0) = 5(0) + 4(0)2 + 3
= 3
= 3
(ii) x = – 1
p(x) = 5x + 4x2 + 3
⇒ p(-1) = 5(-1) + 4(-1)2 + 3
= -5 + 4(1) + 3 = 2
= -5 + 4(1) + 3 = 2
(iii) x = 2
p(x) = 5x + 4x2 + 3
p(2) = 5(2) + 4(2)2 + 3
= 10 + 16 + 3 = 29
= 10 + 16 + 3 = 29
2. তলৰ বহুপদবোৰৰ প্ৰত্যেকৰ বাবে p(0), (1) আৰু p(2) নিৰ্ণয় কৰা।
(i) p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2 – t3
(iii) p(x) = x3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
উত্তৰ:
(i) p(y) = y2 – y + 1
p(0) = (0)2 – (0) + 1 = 1
p(1) = (1)2 – (1) + 1 = 1
p(2) = (2)2 – (2) + 1 = 3
p(0) = (0)2 – (0) + 1 = 1
p(1) = (1)2 – (1) + 1 = 1
p(2) = (2)2 – (2) + 1 = 3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2 – t3
p(0) = 2 + 0 + 2 (0)2 – (0)3 = 2
p(1) = 2 + (1) + 2(1)2 – (1)3
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)2 – (2)3
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4(iii) p(x) = x3
p(0) = (0)3 = 0
p(1) = (1)3 = 1
p(2) = (2)3 = 8
p(0) = 2 + 0 + 2 (0)2 – (0)3 = 2
p(1) = 2 + (1) + 2(1)2 – (1)3
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)2 – (2)3
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4(iii) p(x) = x3
p(0) = (0)3 = 0
p(1) = (1)3 = 1
p(2) = (2)3 = 8
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
p(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (- 1) (1) = – 1
p(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (- 1) (1) = – 1
p(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (2) = 0
p(2) = (2 – 1 ) (2 + 1) = 1(3) = 3
নৱম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ২
প্রশ্ন : কাষত উল্লেখিত মানবােৰ বহুপদটোৰ শূন্য হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা—
(i) p(x) = 3x + 1, x = -1/3
(ii) p(x) = 5x – π, x = 4/5
(iii) p(x) = x2 – 1, x = 1, -1
(iv) p(x) = (x + 1) (x – 2), x = -1, 2
(v) p(x) = x2 , x = 0
(v) p(x) = x2 , x = 0
(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2
সমাধানঃ
(i) p(x) = 3x + 1, x = -1/3
x = -1/3 হলে P(-1/3) =3(-1/3) + 1
= 0
x = -1/3 হলে P(-1/3) =3(-1/3) + 1
= 0
প্রশ্ন : তলত দিয়া প্রতিটো ৰাশিৰ শুণ্য নির্ণয় কৰা
(i) p(x) = x + 5
(ii) p(x) = x – 5
(iii) p(x) = 2x + 5
(iv) p(x) = 3x – 2
(iv) p(x) = 3x – 2
(v) p(x) = 3x
(vi) p(x) = ax, a ≠ 0
(vii) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c,
(vii) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c,
উত্তৰ:
(i) p(x) = x + 5
p(x) = 0
x + 5 = 0
x = -5
∴ নির্ণেয় শূন্য = -5
(ii) p(x) = x – 5
p(x) = 0
x – 5 = 0
x = 5
∴ নির্ণেয় শূন্য = 5
(iii) p(x) = 2x + 5
p(x) = 0
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
2x = -5
x = -5/2
∴ নির্ণেয় শূন্য = -5/2
(iv) p(x) = 3x – 2
p(x) = 0
3x – 2 = 0
x = 2/3
p(x) = 0
3x – 2 = 0
x = 2/3
∴ নির্ণেয় শূন্য = 2/3
(v) p(x) = 3x
p(x) = 0
3x = 0
x = 0
p(x) = 0
3x = 0
x = 0
∴ নির্ণেয় শূন্য = 0
(vi) p(x) = ax
p(x) = 0
ax = 0
x = 0
p(x) = 0
ax = 0
x = 0
∴ নির্ণেয় শূন্য = 0
(vii) p(x) = cx + d
p(x) = 0
cx + d = 0
x = –d/c
p(x) = 0
cx + d = 0
x = –d/c
∴ নির্ণেয় শূন্য = –d/c
বহুপদ class 9 অনুশীলনী 2.3
পশ্ন : x3 + 3x2 + 3x + 1 ৰাশিবােৰক তলত বহুপদৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ নির্ণয় কৰা।
(i) x + 1
(ii) x – 1/2
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
(ii) x – 1/2
(iii) x
(iv) x + π
(v) 5 + 2x
উত্তৰ:
(i) x + 1
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 0
(ii) x – 1/2
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 27/8.
(iii) x
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 1
(iv) x + π
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = [1 – 3π + 3π2 – π3].
(v) 5 + 2x
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 27/8
নৱম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ২
প্রশ্ন x3 – ax2 + 6x – a ৰাশিটোক x – a ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ নির্ণয় কৰা।
সমাধানঃ ভাজক = x- a
সমাধানঃ ভাজক = x- a
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 5a
প্রশ্ন 3x3 + 7x ৰ 7 + 3x এটা উৎপাদক হয়নে পৰীক্ষা কৰা
সমাধান :
সমাধান :
যিহেতু ইয়াত নির্ণেয় ভাগশেষ শূন্য নহয় সেয়েহে 3x3 + 7x ৰ 7 + 3x এটা উৎপাদক নহয়
বহুপদ class 9 অনুশীলনী 2.4
1. তলৰ কোনটো বহুপদৰ এটা উৎপাদক (x-1) তাক নিৰ্ণয় কৰা।
(i) x3+x2+x +1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x2 – (2 +√2 )x + √2
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x2 – (2 +√2 )x + √2
সমাধান :
x+ 1 ৰ শূন্য হৈছে -1
(i) Let p (x) = x3 + x2 + x + 1
Then, p (-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1 .
= -1 + 1 – 1 + 1
⇒ p (- 1) = 0
Then, p (-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1 .
= -1 + 1 – 1 + 1
⇒ p (- 1) = 0
যিহেতু p(x) = 0, গতিকে (x+ 1) হৈছে x3 + x2 + x + 1 ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) Let p (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Then, P(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1)+1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
⇒ P (-1) = 1
Then, P(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1)+1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
⇒ P (-1) = 1
যিহেতু p(x) ≠ 0, গতিকে (x+ 1) টো x4 + x3 + x2 + x + 1 ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) Let p (x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 .
Then, p (-1)= (-1)4 + 3 (-1)3 + 3 (-1)2 + (- 1)+ 1
= 1- 3 + 3 – 1 + 1
⇒ p (-1) = 1
Then, p (-1)= (-1)4 + 3 (-1)3 + 3 (-1)2 + (- 1)+ 1
= 1- 3 + 3 – 1 + 1
⇒ p (-1) = 1
যিহেতু p(x) ≠ 0, গতিকে (x+ 1) টো x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iv) Let p (x) = x3 – x2 – (2 + √2) x + √2
Then, p (- 1) =(- 1)3- (-1)2 – (2 + √2)(-1) + √2
= -1 – 1+ 2 +√2+√2
= 2√2
Then, p (- 1) =(- 1)3- (-1)2 – (2 + √2)(-1) + √2
= -1 – 1+ 2 +√2+√2
= 2√2
যিহেতু p(x) ≠ 0, গতিকে (x+ 1) টো x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
2. উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে (g), p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
(i) p (x)= 2x3 + x2 – 2x – 1, g (x) = x + 1
(ii) p(x)= x3 + 3x2 + 3x + x, g (x) = x + 2
(iii) p (x) = x3 – 4x2 + x + 6, g (x) = x – 3
(ii) p(x)= x3 + 3x2 + 3x + x, g (x) = x + 2
(iii) p (x) = x3 – 4x2 + x + 6, g (x) = x – 3
সমাধান :
(i) (g) = x+ 1 ৰ শূন্য হৈছে -1
তেতিয়া, p (-1) = 2 (-1)3+ (-1)2 – 2 (-1)-1 [∵ p(x) = 2x3 + x2 – 2x -1]
= -2 + 1 + 2 – 1
⇒ P (- 1)= 0
⇒ P (- 1)= 0
সেয়েহে, g(x) হৈছে p(x)ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) (g) = x+ 2 ৰ শূন্য হৈছে -2
তেতিয়া, p (- 2) = (- 2)3 + 3 (- 2)2 +3 (- 2) + 1 [∵ p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1]
= – 8 + 12 – 6 + 1
⇒ p(-2) = -1
⇒ p(-2) = -1
সেয়েহে, g (x) টো p(x)ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) (g) = x-3 ৰ শূন্য হৈছে 3
তেতিয়া, p (3) = 33 – 4 (3)2+3 + 6 [∵ p(x) = x3-4x2 + x+6]
= 27 – 36+ 3 +6
⇒ p(3) = 0
⇒ p(3) = 0
সেয়েহে, g(x) হৈছে p(x)ৰ এটা উৎপাদক।
3. যদি (x-1), p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা
(i) p (x) = x2 + x + k
(ii) p (x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p (x) = kx2 – √2 x + 1
(iv) p (x) = kx2 – 3x + k
(ii) p (x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p (x) = kx2 – √2 x + 1
(iv) p (x) = kx2 – 3x + k
সমাধান : x+ 1 ৰ শূন্য হৈছে -1
(i) যিহেতু (x-1) টো p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে (p) =0
⇒ 12 + 1 + k = 0 [∵ p(x) = x2 + x + k]
⇒ 2 + k =0
⇒ k = -2
(ii) যিহেতু (x-1) টো p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে (p) =0
⇒ 2(1)2 + k(1)+√2= 0 [∵p(x) = 2x2 + kx+ -√2]
⇒ 2 + k + √2 = 0
⇒ k = – (2 + √2)
(iii) যিহেতু (x-1) টো p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে (p) =0
⇒ k (1)2 – √2 + 1 = 0 [∵p(x) = kx2 – √2x + 1]
⇒ k = (√2 – 1)
(iv) যিহেতু (x-1) টো p(x)ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে (p) =0
⇒ k(1)2 – 3 + k = 0 [∵p(x) = kx2 – 3x + k]
⇒ 2k-3 = 0
⇒ k = 3/2
4. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:
(i) 12x2 – 7x +1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
সমাধান :
(i) 12x2 – 7x + 1
= 12x2 – 4x- 3x + 1 (মধ্য পদ বিভাজন)
= 4x (3x – -0 -1 (3x-1)
= (3x -1) (4x -1)
(ii)2x2 + 7x + 3
= 2x2 + 6x + x + 3 (মধ্য পদ বিভাজন)
= 2x (x + 3) +1 (x + 3)
= (x + 3) (2x+ 1)
(iii) 6x2 + 5x – 6
= 6x2 + 9x- 4x- 6 (মধ্য পদ বিভাজন)
= 3x(2x+3)-2(2x+3)
=(2x+3)(3x-2)
(iv) 3x2 – x- 4
= 3x2-4x+3x-4 (মধ্য পদ বিভাজন)
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x- 4) (x + 1)
লগতে চাওক: সংখ্যা প্ৰণালী {সমাধান}
নৱম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ২
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
সমাধান :
(i) ধৰোঁ p (x) = x3 – 2x2 – x+ 2, ৰ ধ্ৰুৱক পদটো 2.
2 সকলো উৎপাদক বিবেচনা কৰি আমি পাওঁ ± 1 আৰু ± 2.
এতিয়া, p (1) = 13 – 2 (1)2 – 1 + 2
2 সকলো উৎপাদক বিবেচনা কৰি আমি পাওঁ ± 1 আৰু ± 2.
এতিয়া, p (1) = 13 – 2 (1)2 – 1 + 2
=1- 2 – 1 + 2
p(1) = 0
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ p (1) = 0
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ p (1) = 0
গতিকে (x – 1), p(x) ৰ এটা উৎপাদক
∴ x3 – 2x2 – x+ 2
= x3 – x2 – x2 + x – 2x + 2
= x2 ( x -1)- x (x – 1)-2 (x – 1)
= (x – 1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x2 – 2x+x-2)
= (x – 1) [x (x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2)(x + 1)
(ii) ধৰোঁ p(x) = x3 – 3x2 – 9x – 5
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ
p(5) = (5)3 – 3(5)2 – 9(5) – 5
=125 – 75 – 45 – 5 = 0
গতিকে, (x – 5), p(x) ৰ এটা উৎপাদক
∴ x3 – 3x2 – 9x – 5
= x3-5x2 + 2x2-10x+x-5
= x2(x – 5)+2x(x – 5)+1(x – 5)
= (x – 5) (x2 + 2x + 1)
= (x – 5) (x2 + x + x + 1)
= (x – 5) [x (x + 1)+ 1 (x+ 1)]
= (x – 5) (x + 1) (x + 1)
= (x – 5)(x+1)2
(iii) ধৰোঁ p (x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ
(iii) ধৰোঁ p (x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ
p (-1) = (-1)3 + 13(-1)2 + 32 (-1) + 20
= -1+13 – 32 + 20 = -33 + 33 = 0
গতিকে, (x + 1), p (x) ৰ এটা উৎপাদক
∴ x3 + 13x2 + 32x + 20
গতিকে, (x + 1), p (x) ৰ এটা উৎপাদক
∴ x3 + 13x2 + 32x + 20
= x3+ x2 + 12x2 + 12x+ 20x+ 20
=x2(x+ 1) + 12x(x+ 1)+ 20 (x+ 1)
= (x+1)(x2+12x+20)
= (x+ 1) (x2+ 10x + 2x+ 20)
= (x+1)[x(x+10)+2(x+10)]
= (x+ 1) (x+ 10) (x + 2)
(iv) ধৰোঁ p (y) = 2y3 + y2 – 2y -1
পৰীক্ষণৰ দ্বাৰা, আমি পাওঁ
p(1) = 2 (1)3 + (1)2 – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 -1 = 0
গতিকে(y -1), p (y) ৰ এটা উৎপাদক
∴ 2y3 + y2 – 2y -1
∴ 2y3 + y2 – 2y -1
= 2y3 – 2y2+ 3y2 – 3y + y – 1
= 2y2(y – 1) + 3y(y – 1)+1(y – 1)
= (y – 1) (2y2 + 3y + 1)
= (y – 1)(2y2 + 2y +y+1)
= (y – 1 [2y (y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1)(y+1)(2y+1)